rozwiązać równanie

dżi-unit · Post autor: **dżi-unit** » 10 lip 2011, o 20:05

\(\displaystyle{ x^{4} - i = 0}\)

Funktor · Post autor: **Funktor** » 10 lip 2011, o 20:07

Zapisz \(\displaystyle{ i}\) w postaci trygonometrycznej a następnie skorzystaj ze wzory na pierwiastki n-tego stopnia z liczby zespolonej

dżi-unit · Post autor: **dżi-unit** » 10 lip 2011, o 20:39

A jeśli chodzi ogólnie o równania typu: \(\displaystyle{ z^{2}=a \pm bi}\) albo \(\displaystyle{ z^{2} \pm (a+bi)z + c+di = 0}\)

mateuszek89 · Post autor: **mateuszek89** » 10 lip 2011, o 21:22

ad.1
też przedstawiasz tą liczbę tzn. \(\displaystyle{ a+bi}\) w postaci trygonometrycznej.
ad.2
Liczysz zwykłą \(\displaystyle{ \Delta}\). Jeśli wyjdzie rzeczywista większa od 0 wiadomo. Jeśli mniejsza od 0 ale rzeczywista to też dosyć łatwo bo np. \(\displaystyle{ -9=(3i)^2=(-3i)^2}\) więc łatwo znaleźć pierwiastki drugiego stopnia z tych liczb. Jeśli wyjdzie taka, że jej część urojona jest różna od 0 możesz ponownie przedstawić ją w postaci trygonometrycznej i posłużyć się wzorami na rozwiązanie równania \(\displaystyle{ x^2-z=0}\). Dalej jak już masz te pierwiastki korzystasz ze zwykłych wzorów na rozwiązania równania kwadratowego.
Pozdrawiam!

Funktor · Post autor: **Funktor** » 10 lip 2011, o 21:25

Nie ma recepty na dowolne równanie w liczbach zespolonych, czasem warto zrobić tak jak napisałem wyżej a czasem np. w tych ostatnich przykładach za \(\displaystyle{ z}\) podstawić \(\displaystyle{ z=ai+b}\)-- 10 lip 2011, o 21:26 --Albo tak jak napisał mateuszek co do ostatniego przykładu