trudne przekształcenia liniowe

[maciek1980]

cześć, nie wiem jak zrobić pewne zadanko
Pokaż, że gdy wykonamy jakiekolwiek przekształcenie liniowe \(\displaystyle{ f: V \rightarrow W}\), to f(0)=0. Udowodnij także fakt iż \(\displaystyle{ kerf}\) i \(\displaystyle{ imf}\) są przestrzeniami kolejno V i W.
Jak się za to zabrać?

[Majeskas]

Pierwszy fakt idzie od razu z definicji przekształcenia liniowego:

\(\displaystyle{ f\left( 0\right)=f\left( \alpha+\left( -\alpha\right) \right)=f\left( \alpha\right)+f\left( -\alpha\right)=f\left( \alpha\right)-f\left( \alpha\right)=0}\)

-- 10 lipca 2011, 15:04 --

W pozostałej treści polecenia powinno być "podprzestrzeniami", a nie przestrzeniami.

Nic, jak tylko definicje:

\(\displaystyle{ \ker f=\left\{ \alpha \in V \mid \quad f\left( \alpha\right)=0\right\} \subset V}\)

\(\displaystyle{ im f=\left\{f\left( \alpha\right) \mid \quad \alpha \in V \right\} \subset W}\)

To, że jądro i obraz są podzbiorami przestrzeni odpowiednio \(\displaystyle{ V,W}\) jest oczywiste, więc napisałem to powyżej. Teraz trzeba pokazać, że są również ich podprzestrzeniami liniowymi. Trzeba więc wziąć definicję podprzestrzeni i pokazać, że powyższe zbiory ją spełniają.

[maciek1980]

Dzięki wielkie