Objętość figury ograniczonej płaszczyznami
Objętość figury ograniczonej płaszczyznami
Słuchajcie, mam takie zadanie, które wydaje się nie być skomplikowanym, ale nie mogę sobie z nim poradzić, ani znaleźć rozwiązania jakiegoś podobnego w internecie, mógłby ktoś spróbować mi je wytłumaczyć? problem polega na tym, że mam je 'zrozumieć' do niedzieli 10.07.2011 :/ a oto treść:
Oblicz objętość figury geometrycznej, ograniczonej płaszczyznami
\(\displaystyle{ x^2+y^2=z^2 \\
z=2}\)
Lub ewentualnie podpunkt b), bardzo podobny
\(\displaystyle{ x^2+y^2=z^2+2 \\
z=-2}\)
Bardzo proszę o pomóc, z góry dziękuję..!
Oblicz objętość figury geometrycznej, ograniczonej płaszczyznami
\(\displaystyle{ x^2+y^2=z^2 \\
z=2}\)
Lub ewentualnie podpunkt b), bardzo podobny
\(\displaystyle{ x^2+y^2=z^2+2 \\
z=-2}\)
Bardzo proszę o pomóc, z góry dziękuję..!
Ostatnio zmieniony 7 lip 2011, o 17:30 przez Crizz, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznać się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .Temat umieszczony w złym dziale.
Powód: Poprawa wiadomości.Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznać się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .Temat umieszczony w złym dziale.
-
- Użytkownik
- Posty: 1874
- Rejestracja: 4 paź 2008, o 02:13
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Lost Hope
- Podziękował: 28 razy
- Pomógł: 502 razy
Objętość figury ograniczonej płaszczyznami
To pierwsze równanie nie daje płaszczyzny, tylko nieograniczony stożek.
Płaszczyzna \(\displaystyle{ z=2}\) wycina z niego stożek o promieniu podstawy i wysokości równym \(\displaystyle{ 2}\).
Taki stożek ma objętość:
\(\displaystyle{ \frac{8\pi}3}\).
Płaszczyzna \(\displaystyle{ z=2}\) wycina z niego stożek o promieniu podstawy i wysokości równym \(\displaystyle{ 2}\).
Taki stożek ma objętość:
\(\displaystyle{ \frac{8\pi}3}\).
Objętość figury ograniczonej płaszczyznami
pewnie o taki stożek chodzi, mam jego objetosc obliczyc, tylko że calkami bodaj. po zaliczeniu prof. powiedzial ze to nie stozek, tylko 'paranoida' czy cos takiego, dlatego pytam o poprawne rozwiazanie, bo ja nie wiem jak je rozwiazac
Objętość figury ograniczonej płaszczyznami
jestem pewny ze przy z-etach też były '2'. a mógłbyś mi pokazać rozwiązanie tego? uzywajac calek
-
- Użytkownik
- Posty: 1874
- Rejestracja: 4 paź 2008, o 02:13
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Lost Hope
- Podziękował: 28 razy
- Pomógł: 502 razy
Objętość figury ograniczonej płaszczyznami
Za pomocą całek:
\(\displaystyle{ V=\pi\int_0^2x^2 \mbox{d}x =\pi\left[\frac{x^3}3\right]_0^2=\pi\left(\frac 83-\frac 03\right)=\frac{8\pi}3}\).
\(\displaystyle{ V=\pi\int_0^2x^2 \mbox{d}x =\pi\left[\frac{x^3}3\right]_0^2=\pi\left(\frac 83-\frac 03\right)=\frac{8\pi}3}\).
Objętość figury ograniczonej płaszczyznami
będzie to tylko pojedyncza calka po x? a czemu tak, moglbys mi wyjasnic lopatologicznie
-
- Użytkownik
- Posty: 1874
- Rejestracja: 4 paź 2008, o 02:13
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Lost Hope
- Podziękował: 28 razy
- Pomógł: 502 razy
Objętość figury ograniczonej płaszczyznami
Bryła obrotowa \(\displaystyle{ B}\) powstałych przez obrócenie wykresu funkcji \(\displaystyle{ f:[a,b]\to\mathbb{R}}\)
\(\displaystyle{ y=f(z)}\)
wokół osi Z objętość oblicza się wygodnie ze wzoru:
\(\displaystyle{ V=\pi\int_a^b(f(x))^2 \mbox{d}x}\)
co można wyprowadzić wprost z definicji całkowania: (15.23)
lub z tw. Fubiniego:
Szukamy:
\(\displaystyle{ {\int\int\int}_B1\: \mbox{d}x \mbox{d}y \mbox{d}z}\)
Możemy scałkować pola, oznaczmy je \(\displaystyle{ P(z)}\), przekrojów po ustalonych \(\displaystyle{ z\in[a,b]}\):
\(\displaystyle{ \ldots=\int_a^b P(z)\mbox{d}z}\).
Z kolei pola tych przekrojów to:
\(\displaystyle{ P(z)=\pi(f(x))^2}\)
ze wzoru na pole koła, co też można za pomocą całek we współrzędnych biegunowych (jakobian to \(\displaystyle{ r}\)):
\(\displaystyle{ P(z)=\int_0^{|f(z)|}\int_0^{2\pi}r \mbox{d}r \mbox{d}\theta=\int_0^{|f(x)|}r \mbox{d}r\cdot\int_0^{2\pi}1 \mbox{d}\theta=}\)
\(\displaystyle{ =2\pi\cdot\left[\frac{r^2}2\right]_0^{|f(x)|}=2\pi\cdot\left(\frac{|f(x)|^2}2-\frac{0}2\right)=\pi(f(x))^2}\)
\(\displaystyle{ y=f(z)}\)
wokół osi Z objętość oblicza się wygodnie ze wzoru:
\(\displaystyle{ V=\pi\int_a^b(f(x))^2 \mbox{d}x}\)
co można wyprowadzić wprost z definicji całkowania: (15.23)
lub z tw. Fubiniego:
Szukamy:
\(\displaystyle{ {\int\int\int}_B1\: \mbox{d}x \mbox{d}y \mbox{d}z}\)
Możemy scałkować pola, oznaczmy je \(\displaystyle{ P(z)}\), przekrojów po ustalonych \(\displaystyle{ z\in[a,b]}\):
\(\displaystyle{ \ldots=\int_a^b P(z)\mbox{d}z}\).
Z kolei pola tych przekrojów to:
\(\displaystyle{ P(z)=\pi(f(x))^2}\)
ze wzoru na pole koła, co też można za pomocą całek we współrzędnych biegunowych (jakobian to \(\displaystyle{ r}\)):
\(\displaystyle{ P(z)=\int_0^{|f(z)|}\int_0^{2\pi}r \mbox{d}r \mbox{d}\theta=\int_0^{|f(x)|}r \mbox{d}r\cdot\int_0^{2\pi}1 \mbox{d}\theta=}\)
\(\displaystyle{ =2\pi\cdot\left[\frac{r^2}2\right]_0^{|f(x)|}=2\pi\cdot\left(\frac{|f(x)|^2}2-\frac{0}2\right)=\pi(f(x))^2}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 2911
- Rejestracja: 1 maja 2006, o 21:13
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 623 razy
Objętość figury ograniczonej płaszczyznami
Możesz to policzyć klasycznie (po przejściu na cylindryczny układ współrzędnych):
\(\displaystyle{ \int_{0}^{2 \pi } \left ( \int_{0}^{2} \left ( \int_{r}^{2} rdz \right ) dr \right ) d \varphi}\)
\(\displaystyle{ \int_{0}^{2 \pi } \left ( \int_{0}^{2} \left ( \int_{r}^{2} rdz \right ) dr \right ) d \varphi}\)
Objętość figury ograniczonej płaszczyznami
no dobra, a jaka wartość przyjmie tu r? i ten pod całką i ten w granicy całkowania?
-
- Użytkownik
- Posty: 2911
- Rejestracja: 1 maja 2006, o 21:13
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 623 razy
Objętość figury ograniczonej płaszczyznami
Masz określone wszystkie granice całkowania. Wystarczy tylko rozwiązać.
Objętość figury ograniczonej płaszczyznami
ok, wyliczając wyszło tak samo jak rozwiązanie xiikzodz, tylko aalmond, mógłbyś mi napisać jak doszedłeś do takiego zapisu? Bo nie bardzo rozumiem
-
- Użytkownik
- Posty: 2911
- Rejestracja: 1 maja 2006, o 21:13
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 623 razy
Objętość figury ograniczonej płaszczyznami
Takie są granice całkowania dla tej figury:
\(\displaystyle{ \sqrt{ x^{2}+ y^{2} } \le z \le 2\\ \\
- \sqrt{4- x^{2} } \le y \le \sqrt{4- x^{2} } \\ \\
-2 \le x \le 2}\)
Po przejściu na współrzędne cylindryczne mamy:
\(\displaystyle{ r \le z \le 2 \\ \\
0 \le r \le 2 \\ \\
0 \le \varphi \le 2 \pi}\)
Trzeba oczywiście uwzględnić jakobian przekształcenia.
\(\displaystyle{ \sqrt{ x^{2}+ y^{2} } \le z \le 2\\ \\
- \sqrt{4- x^{2} } \le y \le \sqrt{4- x^{2} } \\ \\
-2 \le x \le 2}\)
Po przejściu na współrzędne cylindryczne mamy:
\(\displaystyle{ r \le z \le 2 \\ \\
0 \le r \le 2 \\ \\
0 \le \varphi \le 2 \pi}\)
Trzeba oczywiście uwzględnić jakobian przekształcenia.
Objętość figury ograniczonej płaszczyznami
a mógłbyś mi jeszcze wytłumaczyć czemu mamy takie granice? myślałem wcześniej że po przejściu na cylindryczne z jest od 0 do 2, r też od 0 do 2 i fi od 0 do 2pi. Gdybyś mi wytłumaczył dokładnie te granice całkowania figury i po przejściu na współrzędne cylindryczne myślę że poradziłbym sobie już z nim
-
- Użytkownik
- Posty: 2911
- Rejestracja: 1 maja 2006, o 21:13
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 623 razy
Objętość figury ograniczonej płaszczyznami
W kartezjańskim układzie współrzędnych granice dla z:
\(\displaystyle{ \sqrt{ x^{2}+ y^{2} } \le z \le 2}\)
teraz wstaw:
\(\displaystyle{ x = r \cdot \cos \varphi \\
y = r \cdot \sin \varphi}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{ x^{2}+ y^{2} } \le z \le 2}\)
teraz wstaw:
\(\displaystyle{ x = r \cdot \cos \varphi \\
y = r \cdot \sin \varphi}\)