Podany niżej ciąg funkcji \(\displaystyle{ (f_n)_{n=1,2,3,...}}\) określonych na przedziale \(\displaystyle{ [-1,1]}\) jest zbieżny jednostajnie. Czy jego granica jest funkcją ciągłą?
a) \(\displaystyle{ f_n(x)= \frac{1}{n} \mbox{sgn}(x)}\)
b) \(\displaystyle{ f_n(x)= \left( 1- \frac{1}{n} \right) \mbox{sgn}(x)}\)
c) \(\displaystyle{ f_n(x)= \left( 1- \frac{1}{n} \right) (\mbox{sgn}(x))^2}\)
d) \(\displaystyle{ f_n(x)= \left( 1- \frac{1}{n} \right) x \mbox{sgn}(x)}\)
ciaglosc funkcji
-
Majeskas
- Użytkownik
- Posty: 1456
- Rejestracja: 14 gru 2007, o 14:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 49 razy
- Pomógł: 198 razy
ciaglosc funkcji
Twierdzenie przydatne do rozwiązania tego zadania:
\(\displaystyle{ \begin{cases} f_n\left( x\right) \in C\left( \left[ a,b\right] \right) \\ f_n\left( x\right) \rightrightarrows f\left( x\right) \end{cases} \Rightarrow f\left( x\right) \in C\left( \left[ a,b\right] \right)}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} f_n\left( x\right) \in C\left( \left[ a,b\right] \right) \\ f_n\left( x\right) \rightrightarrows f\left( x\right) \end{cases} \Rightarrow f\left( x\right) \in C\left( \left[ a,b\right] \right)}\)
-
Majeskas
- Użytkownik
- Posty: 1456
- Rejestracja: 14 gru 2007, o 14:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 49 razy
- Pomógł: 198 razy
ciaglosc funkcji
Słownie twierdzenie brzmi: jeżeli ciąg funkcji ciągłych na dowolnym przedziale jest na nim jednostajnie zbieżny, to funkcja graniczna jest ciągła.
Twoje przykłady są dość proste i moim zdaniem, na powyższe twierdzenie warto się powołać jedynie w przykładzie d). W pozostałych przykładach funkcje nie są ciągłe, więc twierdzenie jest nam na nic. Natomiast można dość łatwo określić w każdym funkcję graniczną i stwierdzić, czy jest ciągła. Potrafisz to zrobić?
Twoje przykłady są dość proste i moim zdaniem, na powyższe twierdzenie warto się powołać jedynie w przykładzie d). W pozostałych przykładach funkcje nie są ciągłe, więc twierdzenie jest nam na nic. Natomiast można dość łatwo określić w każdym funkcję graniczną i stwierdzić, czy jest ciągła. Potrafisz to zrobić?
ciaglosc funkcji
Nadal niewiele mi to mówi. Prosiłabym o wytłumaczenie tego chociaż na jednym z tych przykładów, może wtedy więcej zrozumiem... (odpowiedzi to tak, nie, nie, tak)
-
miodzio1988
ciaglosc funkcji
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{1}{n} \mbox{sgn}(x)}\)
ile takie cudo wynosi?
ile takie cudo wynosi?
ciaglosc funkcji
Chwila... czyli to zadanie wystarczy rozwiązać w ten sposób, że:
a) \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty} \frac{1}{n} \mbox{sgn}x = 0}\) (ciągła)
b) \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty} \left( 1-\frac{1}{n} \right) \mbox{sgn}x = \mbox{sgn}x}\) (nieciągła)
c) \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty} \left( 1-\frac{1}{n} \right) (\mbox{sgn}x)^2 = (\mbox{sgn}x)^2}\) (nieciągła)
d) \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty} \left( 1-\frac{1}{n} \right) x\mbox{sgn}x = x\mbox{sgn}x}\) (ciągła)
???
a) \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty} \frac{1}{n} \mbox{sgn}x = 0}\) (ciągła)
b) \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty} \left( 1-\frac{1}{n} \right) \mbox{sgn}x = \mbox{sgn}x}\) (nieciągła)
c) \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty} \left( 1-\frac{1}{n} \right) (\mbox{sgn}x)^2 = (\mbox{sgn}x)^2}\) (nieciągła)
d) \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty} \left( 1-\frac{1}{n} \right) x\mbox{sgn}x = x\mbox{sgn}x}\) (ciągła)
???
Ostatnio zmieniony 14 lip 2011, o 00:31 przez Lbubsazob, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości - skalowanie nawiasów.
Powód: Poprawa wiadomości - skalowanie nawiasów.
