Granica ciągu związana z liczbą e.

[piotrpot]

Witam,
Czy byłby ktoś tak uprzejmy i pomógł mi w obliczeniu granicy tej funkcji?

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \left( 1- \frac{2}{n+3} \right) ^{n}}\)

Ponadto wynik należy zinterpretować geometrycznie.

Jak najprościej pojąć zasadę obliczania granicy? Szukam w internecie i szukam jakiś konkretnych przykładów, wytłumaczonych zrozumiałym dla mnie językiem, ale niestety bez powodzenia. Pomóżcie proszę. Pozdrawiam

[mateuszek89]

rozpisz sobie tą granicę na \(\displaystyle{ \left (1-\frac{2}{n+3}\right )^n=\left (1+\frac{-2}{n+3}\right )^{n+3} \cdot \left (1-\frac{2}{n+3}\right )^{-3}}\) teraz coś widzisz? pozdrawiam!

[piotrpot]

Hmm. A podpowiedź coś dalej...

[mateuszek89]

pierwsze wyrażenie dąży do \(\displaystyle{ e^{-2}}\) a dalej mam nadzieję, że sam już się domyślisz.

[piotrpot]

Czy dobrze myślę, że drugie wyrażenie dąży do 1?

[mateuszek89]

Tak

[piotrpot]

A skąd wziąłeś to \(\displaystyle{ e ^{-2}}\)?

[mateuszek89]

bo \(\displaystyle{ \left (1+\frac{-2}{n+3} \right )^{n+3}=\left (\left (1+\frac{-2}{n+3} \right )^{\frac{n+3}{-2}}\right )^{-2}}\).-- 9 lip 2011, o 19:12 --Ogólnie \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty}(1+\frac{a}{n})^n=e^a}\).

[piotrpot]

No ok - to rozumiem. Co zatem będzie wynikiem tego naszego przykładu?

[mateuszek89]

to chyba Ty powinieneś to wiedzieć. Cały przykład praktycznie Ci rozwiązałem więc ta granica wynosi?

[piotrpot]

\(\displaystyle{ e ^{-2}}\) ?

[mateuszek89]

tak

[piotrpot]

Dziękuję Ci bardzo. I jeszcze pytanko, na czym polega geometryczna interpretacja tego wyniku?

[mateuszek89]

za bardzo nie wiem o co chodzi, ale może o zwykłą interpretacje geometryczną granicy ciągu, a to już jest łatwe (spójrz na definicję granicy ciągu).