Monotoniczność - w jakich przedziałach funkcja jest rosnąca?

[piotrpot]

Witam,
Czy byłby mi ktoś w stanie wytłumaczyć jak podejść do tego zadania? Naprowadzić mnie od czego zacząć.

\(\displaystyle{ f(x) = xe ^{x-x ^{2}}}\)

Z góry dziękuję.

[mateuszek89]

policz najpierw pochodną tej funkcji. pozdrawiam!

[piotrpot]

No i wyszło mi, że

\(\displaystyle{ f^\prime(x) = \left( -2x+1 \right) \left( e ^{x-x ^{2}}+xe ^{x-x ^{2}} \right)}\)

choć nie wykluczone, że to głupoty:)

[mateuszek89]

trochę brakuję. \(\displaystyle{ \left(xe^{x-x^2}\right)^{\prime}=(x)^{\prime}e^{x-x^2}+x \cdot \left(e^{x-x^2}\right)^{\prime}=...}\) teraz dokończ.

[piotrpot]

Sorry za moją ciemnotę. Ja to liczę tak:

\(\displaystyle{ \left( xe^{x-x^2} \right) ^{\prime}= \left( x \right) ^{'}e^{x-x^2}+x \cdot \left( e^{x-x^2} \right) ^{\prime}=\\1 \cdot e^{x-x^2} + x \cdot e^{x-x^2} \cdot \left( -2x+1 \right) =\\e^{x-x^2} + e^{x-x^2} \cdot \left( -2x ^{2} +x \right) = \\ e^{x-x^2} \left( -2x ^{2} +x+1 \right)}\)

[mateuszek89]

Nie ma za co przepraszać. teraz jest ok. Dalej zbadaj kiedy to wyrażenie jest większe od 0 (funkcja jest wtedy rosnąca) a kiedy mniejsze od 0 (funkcja malejąca). Weź pod uwagę fakt, że funkcja \(\displaystyle{ e^x>0}\) dla każdego \(\displaystyle{ x}\) więc w zasadzie możesz badać znak tylko tego drugiego czynnika.

[piotrpot]

Z moich obliczeń wynika, że dla \(\displaystyle{ x>\frac{1}{4}}\) funkcja maleje, a dla \(\displaystyle{ x<\frac{1}{4}}\) funkcja rośnie. Czy to jest ok?

[mateuszek89]

niestety nie. masz tam funkcje kwadratową więc dość łatwo znaleźć miejsca zerowe itd. i zbadać dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości dodatnie, a dla jakich ujemne.

[piotrpot]

No to w takim razie dla \(\displaystyle{ -\frac{1}{2} < x < 1}\) przynuje wartości dodatnie, a dla \(\displaystyle{ (- \infty , -\frac{1}{2}) \wedge (1 ,+ \infty)}\) ujemne, bo już innego pomysłu nie mam.

[mateuszek89]

jest ok. stąd funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest rosnąca dla \(\displaystyle{ x \in \left (-\frac{1}{2};1 \right )}\), a malejąca dla \(\displaystyle{ x \in \left (-\infty;-\frac{1}{2} \right ) \cup (1;+\infty)}\).