Obliczyć granicę ciągu. Proszę o pomoc
\(\displaystyle{ an= \frac{ \sqrt{3} + 3 + \frac{1}{3} + 9 + \frac{1}{9} + ... + 3^{n} + \frac{1}{ 3^{n} } }{ 9^{n} \sin \frac{1}{ 3^{n} } }}\)
granica ciągu
-
Majeskas
- Użytkownik
- Posty: 1456
- Rejestracja: 14 gru 2007, o 14:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 49 razy
- Pomógł: 198 razy
granica ciągu
\(\displaystyle{ a_n= \frac{ \sqrt{3} + 3 +9+\cdots+3^n+ \frac{1}{3} +\frac{1}{9} +\cdots+ \frac{1}{ 3^{n} } }{ 9^{n} \sin \frac{1}{ 3^{n} } }}\)
W liczniku pojawiają się sumy dwóch ciągów geometrycznych. Zapisuję je za pomocą wzoru na sumę:
\(\displaystyle{ a_n=\frac{ \sqrt{3}+3 \cdot \frac{3^n-1}{3-1}+ \frac{1}{3} \cdot \frac{1- \frac{1}{3^n} }{1- \frac{1}{3} } }{9^n\sin \frac{1}{3^n} }}\)
Wiadomo jak dalej?
W liczniku pojawiają się sumy dwóch ciągów geometrycznych. Zapisuję je za pomocą wzoru na sumę:
\(\displaystyle{ a_n=\frac{ \sqrt{3}+3 \cdot \frac{3^n-1}{3-1}+ \frac{1}{3} \cdot \frac{1- \frac{1}{3^n} }{1- \frac{1}{3} } }{9^n\sin \frac{1}{3^n} }}\)
Wiadomo jak dalej?
Ostatnio zmieniony 9 lip 2011, o 19:40 przez Chromosom, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: symbol sinusa to \sin
Powód: symbol sinusa to \sin
-
Majeskas
- Użytkownik
- Posty: 1456
- Rejestracja: 14 gru 2007, o 14:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 49 razy
- Pomógł: 198 razy
granica ciągu
Po zrobieniu porządków mamy:
\(\displaystyle{ a_n=\frac{ \sqrt{3}-1+ \frac{3}{2} \cdot 3^n- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3^n} }{9^n\sin \frac{1}{3^n} }= \frac{ \sqrt{3}-1}{9^n\sin \frac{1}{3^n}}+ \frac{\frac{3}{2} \cdot 3^n}{9^n\sin \frac{1}{3^n}}- \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3^n}}{9^n\sin \frac{1}{3^n}}=b_n+c_n+d_n}\)
\(\displaystyle{ c_n=\frac{\frac{3}{2} \cdot 3^n}{9^n\sin \frac{1}{3^n}}= \frac{3}{2} \cdot \frac{ \frac{1}{3^n} }{\sin \frac{1}{3^n}}}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x}=1}\). Zatem na podstawie definicji granicy Heinego:
\(\displaystyle{ \forall \left( x_n\right) \subset \mathbb{R} \setminus \left\{ 0\right\} \quad x_n \rightarrow 0 \Rightarrow \frac{x_n}{\sin x_n} \rightarrow 1}\)
Weźmy \(\displaystyle{ x_n= \frac{1}{3^n}}\)
\(\displaystyle{ c_n=\frac{3}{2} \cdot \frac{ \frac{1}{3^n} }{\sin \frac{1}{3^n}} \rightarrow \frac{3}{2} \cdot 1= \frac{3}{2}}\)
\(\displaystyle{ d_n=-\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3^n}}{9^n\sin \frac{1}{3^n}}= -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{9^n} \cdot \frac{ \frac{1}{3^n} }{\sin \frac{1}{3^n}} \rightarrow -\frac{1}{2} \cdot 0 \cdot 1=0}\)
\(\displaystyle{ b_n=\frac{ \sqrt{3}-1}{9^n\sin \frac{1}{3^n}}}\)
Do obliczenia tej granicy skorzystam z subtelnego faktu i twierdzenia o dwóch ciągach.
subtelny fakt:
Skoro \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x}=1}\), to z definicji granicy wg Cauchy'ego:
\(\displaystyle{ \forall \varepsilon >0 \quad \exists \delta>0: \quad \forall x \in \mathbb{R} \setminus \left\{ 0\right\} \quad \left| x\right|<\delta \Rightarrow \left| \frac{x}{\sin x}-1 \right|<\varepsilon}\)
Mogę zatem przyjąć \(\displaystyle{ \varepsilon= 1}\) i mieć pewność, że dla odpowiednio bliskiego otoczenia \(\displaystyle{ 0}\) (dobiorę odpowiednią liczbę \(\displaystyle{ \delta}\) i zadam warunek \(\displaystyle{ \left| x\right|<\delta}\)) \(\displaystyle{ \left| \frac{x}{\sin x}-1 \right|< 1}\)
\(\displaystyle{ -1<\frac{x}{\sin x}-1<1}\)
\(\displaystyle{ \frac{x}{\sin x}-1<1}\)
\(\displaystyle{ \frac{x}{\sin x}<2}\)
Zakładam, że \(\displaystyle{ x>0}\) i dla \(\displaystyle{ x}\) odpowiednio bliskich \(\displaystyle{ 0}\) z prawej strony otrzymuję nierówność:
\(\displaystyle{ x<2 \sin x}\)
\(\displaystyle{ \sin x> \frac{x}{2}}\)
Nierówność można zastosować dla \(\displaystyle{ x_n= \frac{1}{3^n}}\). Z zastrzeżeniem, że zachodzić będzie dla dostatecznie dużych \(\displaystyle{ n}\):
\(\displaystyle{ \sin \frac{1}{3^n} > \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3^n}}\)
Teraz skorzystam z tej nierówności i twierdzenia o dwóch ciągach, żeby obliczyć granicę ciągu \(\displaystyle{ b_n}\)
\(\displaystyle{ \forall n \in \mathbb{N} \quad b_n>0}\)
dla dostatecznie dużych \(\displaystyle{ n}\):
\(\displaystyle{ b_n=\frac{ \sqrt{3}-1}{9^n\sin \frac{1}{3^n}}<\frac{ \sqrt{3}-1}{9^n \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3^n} }= \frac{2\left( \sqrt{3}-1 \right) }{3^n} \rightarrow 0}\)
Zatem \(\displaystyle{ b_n \rightarrow 0}\)
Granica sumy ciągów jest sumą ich granic:
\(\displaystyle{ a_n=b_n+c_n+d_n \rightarrow 0+ \frac{3}{2}+0= \frac{3}{2}}\)
\(\displaystyle{ a_n=\frac{ \sqrt{3}-1+ \frac{3}{2} \cdot 3^n- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3^n} }{9^n\sin \frac{1}{3^n} }= \frac{ \sqrt{3}-1}{9^n\sin \frac{1}{3^n}}+ \frac{\frac{3}{2} \cdot 3^n}{9^n\sin \frac{1}{3^n}}- \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3^n}}{9^n\sin \frac{1}{3^n}}=b_n+c_n+d_n}\)
\(\displaystyle{ c_n=\frac{\frac{3}{2} \cdot 3^n}{9^n\sin \frac{1}{3^n}}= \frac{3}{2} \cdot \frac{ \frac{1}{3^n} }{\sin \frac{1}{3^n}}}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x}=1}\). Zatem na podstawie definicji granicy Heinego:
\(\displaystyle{ \forall \left( x_n\right) \subset \mathbb{R} \setminus \left\{ 0\right\} \quad x_n \rightarrow 0 \Rightarrow \frac{x_n}{\sin x_n} \rightarrow 1}\)
Weźmy \(\displaystyle{ x_n= \frac{1}{3^n}}\)
\(\displaystyle{ c_n=\frac{3}{2} \cdot \frac{ \frac{1}{3^n} }{\sin \frac{1}{3^n}} \rightarrow \frac{3}{2} \cdot 1= \frac{3}{2}}\)
\(\displaystyle{ d_n=-\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3^n}}{9^n\sin \frac{1}{3^n}}= -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{9^n} \cdot \frac{ \frac{1}{3^n} }{\sin \frac{1}{3^n}} \rightarrow -\frac{1}{2} \cdot 0 \cdot 1=0}\)
\(\displaystyle{ b_n=\frac{ \sqrt{3}-1}{9^n\sin \frac{1}{3^n}}}\)
Do obliczenia tej granicy skorzystam z subtelnego faktu i twierdzenia o dwóch ciągach.
subtelny fakt:
Skoro \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x}=1}\), to z definicji granicy wg Cauchy'ego:
\(\displaystyle{ \forall \varepsilon >0 \quad \exists \delta>0: \quad \forall x \in \mathbb{R} \setminus \left\{ 0\right\} \quad \left| x\right|<\delta \Rightarrow \left| \frac{x}{\sin x}-1 \right|<\varepsilon}\)
Mogę zatem przyjąć \(\displaystyle{ \varepsilon= 1}\) i mieć pewność, że dla odpowiednio bliskiego otoczenia \(\displaystyle{ 0}\) (dobiorę odpowiednią liczbę \(\displaystyle{ \delta}\) i zadam warunek \(\displaystyle{ \left| x\right|<\delta}\)) \(\displaystyle{ \left| \frac{x}{\sin x}-1 \right|< 1}\)
\(\displaystyle{ -1<\frac{x}{\sin x}-1<1}\)
\(\displaystyle{ \frac{x}{\sin x}-1<1}\)
\(\displaystyle{ \frac{x}{\sin x}<2}\)
Zakładam, że \(\displaystyle{ x>0}\) i dla \(\displaystyle{ x}\) odpowiednio bliskich \(\displaystyle{ 0}\) z prawej strony otrzymuję nierówność:
\(\displaystyle{ x<2 \sin x}\)
\(\displaystyle{ \sin x> \frac{x}{2}}\)
Nierówność można zastosować dla \(\displaystyle{ x_n= \frac{1}{3^n}}\). Z zastrzeżeniem, że zachodzić będzie dla dostatecznie dużych \(\displaystyle{ n}\):
\(\displaystyle{ \sin \frac{1}{3^n} > \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3^n}}\)
Teraz skorzystam z tej nierówności i twierdzenia o dwóch ciągach, żeby obliczyć granicę ciągu \(\displaystyle{ b_n}\)
\(\displaystyle{ \forall n \in \mathbb{N} \quad b_n>0}\)
dla dostatecznie dużych \(\displaystyle{ n}\):
\(\displaystyle{ b_n=\frac{ \sqrt{3}-1}{9^n\sin \frac{1}{3^n}}<\frac{ \sqrt{3}-1}{9^n \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3^n} }= \frac{2\left( \sqrt{3}-1 \right) }{3^n} \rightarrow 0}\)
Zatem \(\displaystyle{ b_n \rightarrow 0}\)
Granica sumy ciągów jest sumą ich granic:
\(\displaystyle{ a_n=b_n+c_n+d_n \rightarrow 0+ \frac{3}{2}+0= \frac{3}{2}}\)