Oblicz masę bryły. Całka potrójna.

[czlowiek_pajak]

Obliczyć masę bryły zawartej w walcu \(\displaystyle{ x^2 + y^2 = \frac{1}{4}}\) między płaszczyznami \(\displaystyle{ z = - 1}\) oraz \(\displaystyle{ z = x}\). Gęstość w każdym punkcie równa jest odległości punktu od płaszczyzny \(\displaystyle{ Oxy}\).

Zamieniam na współrzędne walcowe.
\(\displaystyle{ 0 \le r \le \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ 0 \le \alpha \le 2\pi}\)
\(\displaystyle{ -1 \le z \le rcos \alpha}\)

Funkcja podcałkowa \(\displaystyle{ = z}\)

Źle? Dobrze? Na pewno źle... :E

[Qń]

Prawie dobrze - funkcja podcałkowa to nie \(\displaystyle{ z}\), lecz \(\displaystyle{ |z|}\).

Q.

[czlowiek_pajak]

Moduł, bo może być poniżej płaszczyzny Oxy?

Policzyłem za pomocą wolfram alpha i wyszło na minusie, inaczej niż w odpowiedziach.

[Qń]

Niezupełnie.

Rzutem punktu \(\displaystyle{ (x,y,z)}\) na płaszczyznę \(\displaystyle{ OXY}\) jest \(\displaystyle{ (x,y,0)}\), a zatem odległość między tym punktem a płaszczyzną to:
\(\displaystyle{ d((x,y,z),(x,y,0))=\sqrt{(x-x)^2+(y-y)^2+(z-0^2)}=\sqrt{z^2}=|z|}\)

A wynik oczywiście powinien wyjść dodatni.

Q.