Własności wartości bezwzględnej - dowód

[edzia18lesniak]

Jak udowodnić własności wartości bezwzględnej
1)\(\displaystyle{ \left| x\right|=\left| y\right| \Leftrightarrow x^{2}= y^{2}}\)
2)\(\displaystyle{ \left| x \cdot y\right|=\left| \left| x\right| \cdot \left| y\right| \right|}\)
3)\(\displaystyle{ \left| x\right|+\left| x\right| =\left| x+x\right|}\)
w ciele częściowo uporządkowanym, w którym porządek jest zgodny z dodawaniem, a nie jest zgodny z mnożeniem

Ciało algebraiczne przemienne (F,+, \(\displaystyle{ \cdot}\),0,1) jest ciałem uporządkowanym
(F,+, \(\displaystyle{ \cdot}\),0,1,<), gdy zbiór (F,<) jest liniowo uporządkowany, a porządek < jest zgodny z działaniami tzn.
\(\displaystyle{ a<b \Rightarrow a+c<b+c}\) (zgodność porządku z dodawaniem)
\(\displaystyle{ (a<b \wedge c>0) \Rightarrow a \cdot c<b \cdot c}\) (zgodnoś porządku z mnożeniem)

Wratość bezwzględna
\(\displaystyle{ \left| z\right|= \begin{cases} z, z \in F \\ -z, z \not \in F \end{cases}}\)

[Spektralny]

W którym miejscu ten dowód nie przechodzi tak jak gdy robisz go dla zwykłej wartości bezwzlgędnej w \(\displaystyle{ F=\mathbb{R}}\)?

[edzia18lesniak]

Zrobiłam dowód na liczbach zespolonych bo porządek nie jest zgodny z mnożeniem. I to nie wystarczyło.Trzeba to zrobić ogólnie dla ciała częściowo uporządkowanego, w którym porządek jest zgodny z dodawaniem, a nie jest zgodny z mnożeniem, a zbiór licz rzeczywistych z tego co mi się wydaje nie jest takim ciałem.

[norwimaj]

Na liczbach zespolonych na ogół nie określa się porządku.

W tym co napisałaś, nie znalazłem ani śladu odpowiedzi na pytanie Spektralnego. A szkoda, bo może problem by się sam rozwiązał.

[Spektralny]

W ciele liczb zespolonych nie da się wprowadzić takiego porządku by było ono ciałem uporządkowanym ponieważ ciało liczb zespolonych (jako ciało algebraicznie domknięte) nie jest rzeczywiście domknięte.

[xiikzodz]

Wydaje mi się, że porządek miał być liniowy i zgodny z dodawaniem zaś definicja modułu jakoś tak miała wyglądać:

\(\displaystyle{ |z|=\left\{\begin{array}{ccc}z&\mbox{gdy}&z\in F_+\\-z&\mbox{gdy}&z\notin F_+\end{array}\right.}\)

czyli po prostu

\(\displaystyle{ |z|=\left\{\begin{array}{ccc}z&\mbox{gdy}&z\ge 0\\-z&\mbox{gdy}&z<0\end{array}\right.}\).

Po kolei:

1.

\(\displaystyle{ x^2=y^2\Leftrightarrow x^2-y^2=0\Leftrightarrow(x+y)(x-y)=0\stackrel{\star}{\Leftrightarrow} (x+y=0)\lor(x-y=0)\Leftrightarrow}\)
\(\displaystyle{ \Leftrightarrow(x=-y)\lor(x=y)\Leftrightarrow |x|=|y|}\).

Równoważność z gwiazdką u góry wynika stąd, że w ciele nie ma dzielników zera.

2.

Na mocy 1. mamy:
\(\displaystyle{ |x\cdot y|=||x|\cdot|y||\Leftrightarrow (xy)^2=(|x||y|)^2\Leftrightarrow (xy-|x||y|)(xy+|x||y|)=0\Leftrightarrow}\)

\(\displaystyle{ \Leftrightarrow(xy-x|y|)(xy+x|y|)=0\Leftrightarrow x(y-|y|)x(y+|y|)=0}\)

To ostatnie wyrażenie jest oczywiście równe \(\displaystyle{ 0}\), bo albo \(\displaystyle{ y=|y|}\) albo \(\displaystyle{ y=-|y|}\).

3.

Dwa przypadki.

Jeśli \(\displaystyle{ x\ge 0}\), to \(\displaystyle{ x+x\ge 0+x=x\ge 0}\) skąd:

\(\displaystyle{ |x|+|x|=x+x=|x+x|}\)


Jeśli \(\displaystyle{ x< 0}\), to \(\displaystyle{ -x+(-x)< 0+x=x< 0}\) skąd:

\(\displaystyle{ |x|+|x|=-x+(-x)=-|-x+(-x)|=|x+x|}\).

[edzia18lesniak]

Bardzo dziękuje za pomoc:)-- 8 lipca 2011, 18:25 --I za tak dokładne rozpisanie dowodów:)