Zadanko pochodzi z delty:
Boki trójkąta dzielimy na trzy równe części, a następnie łączymy odcinkami każdy z wierzchołków z pierwszym punktem podziału na przeciwległym boku. W rezultacie odcinki utworzą trójkąt, którego pole jest równe 1/7 pola wyjściowego trójkąta.
[Planimetria] Stosunek pól trójkatów
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
-
- Użytkownik
- Posty: 2959
- Rejestracja: 8 sie 2009, o 23:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 281 razy
- Pomógł: 498 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 61
- Rejestracja: 1 lis 2009, o 17:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gryfice
- Pomógł: 3 razy
[Planimetria] Stosunek pól trójkatów
Jest to szczególny przypadek wzoru Routha, który mówi jaką część pola stanowi trójkąt powstały w sposób analogiczny, jednak przy dowolnym stosunku podzielonych części boków, wzór ten jest dość skomplikowany i brzydki, ale jakże ciekawy.
-
- Użytkownik
- Posty: 61
- Rejestracja: 1 lis 2009, o 17:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gryfice
- Pomógł: 3 razy
[Planimetria] Stosunek pól trójkatów
Skoro Świstak podbił temat, a nie widzę w internecie tego wzoru, o którym pisałem, to przepiszę, może ktoś nie zna.
Niech dane będą trzy czewiany \(\displaystyle{ l_{AK}}\), \(\displaystyle{ l_{BL}}\) i \(\displaystyle{ l_{CM}}\) pewnego trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\). Ponadto niech \(\displaystyle{ \alpha = \left[ BKC \right]}\) , \(\displaystyle{ \beta = \left[ CLA \right]}\) i \(\displaystyle{ \gamma = \left[ AMB \right]}\). Pole trójkąta wyznaczonego przez te czewiany określony jest wtedy wzorem:
\(\displaystyle{ \frac{(\alpha \beta \gamma - 1)^{2}}{(1 + \alpha + \alpha \beta)(1 + \beta + \beta \gamma)(1 + \gamma + \gamma \alpha)} \cdot S_{ABC}}\)
Jest to wspomniany wzór Routha, po napisaniu zmieniam zdanie, jest on śliczny.
EDIT:
Zapis \(\displaystyle{ \alpha = \left[ BKC \right]}\) oznacza oczywiście \(\displaystyle{ \alpha = \frac{BK}{KC}}\)
Niech dane będą trzy czewiany \(\displaystyle{ l_{AK}}\), \(\displaystyle{ l_{BL}}\) i \(\displaystyle{ l_{CM}}\) pewnego trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\). Ponadto niech \(\displaystyle{ \alpha = \left[ BKC \right]}\) , \(\displaystyle{ \beta = \left[ CLA \right]}\) i \(\displaystyle{ \gamma = \left[ AMB \right]}\). Pole trójkąta wyznaczonego przez te czewiany określony jest wtedy wzorem:
\(\displaystyle{ \frac{(\alpha \beta \gamma - 1)^{2}}{(1 + \alpha + \alpha \beta)(1 + \beta + \beta \gamma)(1 + \gamma + \gamma \alpha)} \cdot S_{ABC}}\)
Jest to wspomniany wzór Routha, po napisaniu zmieniam zdanie, jest on śliczny.
EDIT:
Zapis \(\displaystyle{ \alpha = \left[ BKC \right]}\) oznacza oczywiście \(\displaystyle{ \alpha = \frac{BK}{KC}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 2959
- Rejestracja: 8 sie 2009, o 23:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 281 razy
- Pomógł: 498 razy