Czy ciąg \(\displaystyle{ (a_n)_{n=1,2,3,...}}\) jest zbieżny?
a) \(\displaystyle{ a_n=\frac{1}{n^2} \mbox{sin}n^2}\)
b) \(\displaystyle{ a_n=n^2 \mbox{sin} \frac{1}{n^2}}\)
c) \(\displaystyle{ a_n=\frac{1}{n^2} \mbox{cos}n^2}\)
d) \(\displaystyle{ a_n=n^2 \mbox{cos} \frac{1}{n^2}}\)
zbieżność ciągów
-
szw1710
zbieżność ciągów
a) c) ciągi zbieżne do zera na mocy np. tw. o trzech ciągach.
d) granicą jest \(\displaystyle{ +\infty}\)
b) Granica wynosi 1. Wskazówka. Co wiesz o odpowiedniej granicy wyrażenia \(\displaystyle{ \frac{\sin x}{x}?}\)
d) granicą jest \(\displaystyle{ +\infty}\)
b) Granica wynosi 1. Wskazówka. Co wiesz o odpowiedniej granicy wyrażenia \(\displaystyle{ \frac{\sin x}{x}?}\)
zbieżność ciągów
Aha, czyli w b):
\(\displaystyle{ n^2 \mbox{sin} \frac{1}{n^2} = \frac{ \mbox{sin} \frac{1}{n^2} }{ \frac{1}{n^2} }}\), skoro \(\displaystyle{ \frac{1}{n^2} \rightarrow 0}\), to jeżeli \(\displaystyle{ \frac{1}{n^2}=x}\), to \(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0 } \frac{ \mbox{sin}x }{x} =1}\), dobrze myślę?
\(\displaystyle{ n^2 \mbox{sin} \frac{1}{n^2} = \frac{ \mbox{sin} \frac{1}{n^2} }{ \frac{1}{n^2} }}\), skoro \(\displaystyle{ \frac{1}{n^2} \rightarrow 0}\), to jeżeli \(\displaystyle{ \frac{1}{n^2}=x}\), to \(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0 } \frac{ \mbox{sin}x }{x} =1}\), dobrze myślę?
