rząd elementu

[BlueSky]

Elementy \(\displaystyle{ a, b}\) pewnej grupy spełniają równość \(\displaystyle{ aba^{-1}=b^2}\), przy czym \(\displaystyle{ b}\) nie jest elementem neutralnym. Udowodnij, że rząd elementu \(\displaystyle{ b}\) nie jest liczbą parzystą.

[Qń]

Wskazówka - załóż nie wprost, że rząd \(\displaystyle{ b}\) jest równy \(\displaystyle{ 2k}\) i podnieś równość stronami do potęgi \(\displaystyle{ k}\).

Q.

[BlueSky]

Ok. Wtedy mam, że: \(\displaystyle{ ab^ka^{-1}=e \Rightarrow ab^k=a \Rightarrow b^k=e}\) i sprzeczność, bo mieliśmy, że \(\displaystyle{ b^{2k}=e}\). Czy dobrze myślę?

[Qń]

Ściślej: sprzeczność wynika z tego, że \(\displaystyle{ n=2k}\) miało być najmniejszą dodatnią liczbą całkowitą taką, że \(\displaystyle{ b^n=1}\), a znaleźliśmy mniejszą, tzn. \(\displaystyle{ n=k}\).

Q.

[BlueSky]

Dzięki za pomoc.