Mam do udowodnienia taka indukcję :
\(\displaystyle{ 2^{n} > n^{2}}\)
Baza indukcji : dla \(\displaystyle{ n \ge 5}\)
krok indukcyjny :
\(\displaystyle{ 2^{k+1} = 2 \cdot 2^{k} > 2k^{2} = k^{2}+k^{2} = k^{2} + \frac{k^{2}}{2}+\frac{k^{2}}{2} > k^{2} +\frac{5k}{2}+\frac{25}{2}>k^{2}+2k+1=(k+1)^{2}}\)
Po pokazaniu mojemu profesorowi takiego rozwiązania dostałem odpowiedź, że jestem blisko, oraz podpowiedź że mam skorzystać z tego że \(\displaystyle{ k \ge 5}\). Niestety w tym momencie dostałem czarnej dziury, bo nie wiem jak mam z profesora podpowiedzi skorzystać, jakieś pomysły, podpowiedzi, cokolwiek ?
Pozdrawiam
Dowód nierówności
Dowód nierówności
Ostatnio zmieniony 7 lip 2011, o 16:10 przez ares41, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot
Powód: Symbol mnożenia to \cdot
Dowód nierówności
Pierwszy krok zawarłem w tym ze \(\displaystyle{ n \ge 5}\) chodzi mi tutaj o drugi etap indukcji.
-
- Użytkownik
- Posty: 1660
- Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 70 razy
- Pomógł: 445 razy
Dowód nierówności
Jeżeli to cokolwiek znaczy, to uważam, że poza tym krok indukcyjny został przeprowadzony prawidłowo. Jedyne, co mogę doradzić, to przeredagowanie i liczenie na to, że tym razem trafisz w gust oceniającego. Np. tak:forestwow pisze:\(\displaystyle{ k^{2} + \frac{k^{2}}{2}+\frac{k^{2}}{2}\ {\color{red}\ge}\ k^{2} +\frac{5k}{2}+\frac{25}{2}}\)
\(\displaystyle{ 2^{k+1} = 2 \cdot 2^{k} > 2k^{2} = k^{2}+k^{2} \ge k^{2} + 5k =\\ k^{2} +2k+1+3k-1=(k+1)^2+3k-1\ge (k+1)^2+14>(k+1)^2}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 16323
- Rejestracja: 26 lis 2008, o 20:14
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 35 razy
- Pomógł: 3245 razy
Dowód nierówności
A może tak:
\(\displaystyle{ k^2>2k+1}\)
\(\displaystyle{ k^2-2k-1>0}\) dla \(\displaystyle{ k \in (- \infty ;1- \sqrt{2}) \cup ( \sqrt{2} +1;+ \infty )}\)
stąd
\(\displaystyle{ k^2>2k+1}\) dla \(\displaystyle{ k \ge 5}\)
\(\displaystyle{ 2^{k+1} = 2 \cdot 2^{k} > 2k^{2} = k^{2}+k^{2}> k^{2} + 2k+1=(k+1)^{2}}\)
\(\displaystyle{ k^2>2k+1}\)
\(\displaystyle{ k^2-2k-1>0}\) dla \(\displaystyle{ k \in (- \infty ;1- \sqrt{2}) \cup ( \sqrt{2} +1;+ \infty )}\)
stąd
\(\displaystyle{ k^2>2k+1}\) dla \(\displaystyle{ k \ge 5}\)
\(\displaystyle{ 2^{k+1} = 2 \cdot 2^{k} > 2k^{2} = k^{2}+k^{2}> k^{2} + 2k+1=(k+1)^{2}}\)
-
- Administrator
- Posty: 34123
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5192 razy
Dowód nierówności
forestwow pisze:Pierwszy krok zawarłem w tym ze \(\displaystyle{ n \ge 5}\) chodzi mi tutaj o drugi etap indukcji.
Co masz na myśli?
JK