Problem z transformatą Laplace'a (pytanie o szeczegół)
-
- Użytkownik
- Posty: 38
- Rejestracja: 4 lis 2010, o 16:28
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska :)
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 3 razy
Problem z transformatą Laplace'a (pytanie o szeczegół)
Witam,
otóż wiem, że przy pomocy transformaty Laplace'a mogę rozwiązywać równania różniczkowe. Tylko jest problem - co zrobić, gdy nie mam danych wartości \(\displaystyle{ f^{(n)}(0^{+})}\) ? Wiem, że istnieje wzór na wartość oryginału w zerze \(\displaystyle{ \lim_{t \to 0^{+} } f (t) = \lim_{s \to \infty } s F(s)}\), gdzie \(\displaystyle{ F(s)}\) to transformata Laplace'a oryginału \(\displaystyle{ f(t)}\). Liczyć "na chama", przyjmując nieznane wartości pochodnych za "stałe"?
Z góry dziękuję za odpowiedzi.
----------- EDIT --------------------
Czy np. przy użyciu transformaty Laplace'a mogę rozwiązać takie równanie różniczkowe: \(\displaystyle{ y''' - y=0}\)? (nie mam danych wartości \(\displaystyle{ f^{(n)}(0^{+})}\))
otóż wiem, że przy pomocy transformaty Laplace'a mogę rozwiązywać równania różniczkowe. Tylko jest problem - co zrobić, gdy nie mam danych wartości \(\displaystyle{ f^{(n)}(0^{+})}\) ? Wiem, że istnieje wzór na wartość oryginału w zerze \(\displaystyle{ \lim_{t \to 0^{+} } f (t) = \lim_{s \to \infty } s F(s)}\), gdzie \(\displaystyle{ F(s)}\) to transformata Laplace'a oryginału \(\displaystyle{ f(t)}\). Liczyć "na chama", przyjmując nieznane wartości pochodnych za "stałe"?
Z góry dziękuję za odpowiedzi.
----------- EDIT --------------------
Czy np. przy użyciu transformaty Laplace'a mogę rozwiązać takie równanie różniczkowe: \(\displaystyle{ y''' - y=0}\)? (nie mam danych wartości \(\displaystyle{ f^{(n)}(0^{+})}\))
- Lorek
- Użytkownik
- Posty: 7150
- Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ruda Śląska
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 1322 razy
Problem z transformatą Laplace'a (pytanie o szeczegół)
Na przykład tutaj 239244.htm jest przykład bez podanych wartości, więc można (z tym, że będzie pewnie trochę trudniej).
-
- Użytkownik
- Posty: 38
- Rejestracja: 4 lis 2010, o 16:28
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska :)
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 3 razy
Problem z transformatą Laplace'a (pytanie o szeczegół)
No dobrze, więc ja to równanie \(\displaystyle{ y'''-8y=0}\) (jedno z Krysickiego z części 2.) robię tak:Lorek pisze:Na przykład tutaj 239244.htm jest przykład bez podanych wartości, więc można (z tym, że będzie pewnie trochę trudniej).
\(\displaystyle{ \mathcal{L}\left\{y'''} \right\}-8 \mathcal{L}\left\{y} \right\} = 0
s \mathcal{L} \left\{y''} \right\}-y''( 0^{+} ) - 8 \mathcal{L} \left\{y} \right\}=0
s[s \mathcal{L} \left\{y'} \right\}-y'(0^{+})]-y''(0^{+})-8 \mathcal{L} \left\{y} \right\}=0
s^{2}\mathcal{L} \left\{y'} \right\}-sy'(0^{+})-y''(0^{+})-8 \mathcal{L} \left\{y} \right\}=0
s^{2}[s \mathcal{L}\left\{y} \right\}-y(0^{+})]-sy'(0^{+})-y''(0^{+})-8 \mathcal{L} \left\{y} \right\}=0
s^{3} \mathcal{L} \left\{y} \right\}-s^{2}y(0^{+})-sy'(0^{+})-y''(0^{+})-8 \mathcal{L} \left\{y} \right\}=0
\mathcal{L}\left\{y} \right\}[s^{3}-8]=s^{2}y(0^{+})+sy'(0^{+})+y''(0^{+})
\mathcal{L}\left\{y} \right\}= \frac{s^{2}y(0^{+})+sy'(0^{+})+y''(0^{+})}{s^{3}-8}}\)
I cóż dalej?
Problem z transformatą Laplace'a (pytanie o szeczegół)
W metodzie klasycznej rozwiązywania równań różniczkowych stosuje się 'dwa kroki'.
1. Rozwiązanie stanu przejściowego
2. Rozwiązanie stanu ustalonego
W metodzie transformaty Laplace'a stosujemy tylko jeden krok.
Metoda wymaga stosowania warunków poczatkowych. W efekcie otrzymujemy pełne rozwiązanie RR obejmujące stan przejściowy oraz stan ustalony. Pominięcie - w tej metodzie - warunków początkowych oznacza, że przyjmujesz 'a priori' zerowe warunki początkowe.
Pozdrawiam.
1. Rozwiązanie stanu przejściowego
2. Rozwiązanie stanu ustalonego
W metodzie transformaty Laplace'a stosujemy tylko jeden krok.
Metoda wymaga stosowania warunków poczatkowych. W efekcie otrzymujemy pełne rozwiązanie RR obejmujące stan przejściowy oraz stan ustalony. Pominięcie - w tej metodzie - warunków początkowych oznacza, że przyjmujesz 'a priori' zerowe warunki początkowe.
Pozdrawiam.
-
- Użytkownik
- Posty: 38
- Rejestracja: 4 lis 2010, o 16:28
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska :)
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 3 razy
Problem z transformatą Laplace'a (pytanie o szeczegół)
alek160, tylko, że jak przyjmę wartości początkowe \(\displaystyle{ f^{(n)}( 0^{+})=0}\) to (w większości przypadków, bo w przypadku, gdy będę miał w równaniu przynajmniej jedną stałą to powinno być ok) spowoduje to wyzerowanie licznika ułamka, a w konsekwencji - okaże się, że \(\displaystyle{ F(s)=0}\) a wzoru na transformatę odwrotną funkcji zerowej - nie znam.
- steal
- Użytkownik
- Posty: 1043
- Rejestracja: 7 lut 2007, o 18:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Białystok|Warszawa
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 160 razy
Problem z transformatą Laplace'a (pytanie o szeczegół)
W takim razie odpowiedz na pytanie: dla jakiej wartości oryginału, jego transformata jest równa zeru?
\(\displaystyle{ \mathcal{L}\{f\} = \int e^{-st}f(t)dt}}\)
\(\displaystyle{ \mathcal{L}\{f\} = \int e^{-st}f(t)dt}}\)
Problem z transformatą Laplace'a (pytanie o szeczegół)
W takim razie konieczne jest objaśnienie.
Równania różniczkowe wymyślono głównie do analizy stanu układów dynamicznych.
Układy dynamiczne w praktyce, to np:
1. Układ zawieszenia w samochodzie w chwili gdy samochód wpadnie w dziurę w jezdni,
2. Napęd walcarki w hucie przy produkcji szyn kolejowych w chwili utyku,
3. Temperatura w piecu podczas produkcji grafitu w chwili zaniku napięcia zasilania,
4. Kontenerowiec podczas zbliżania się do nabrzeża w porcie w chwili zerwania liny cumowniczej,
5. Sieć energetyczna w stanie zwarcia,
Mamy więc lewą stronę równania różniczkowego, która opisuje dynamikę obiektu oraz prawą stronę, która opisuje funkcję pobudzenia. Jeśli funkcji pobudzenia nie ma po prawej stronie RR, to oznacza że pobudzenie wykonało pracę i w efekcie powstały warunki początkowe dla chwili t=0+. Jeśli w zadaniu nie podano konkretnych liczb, należy RR rozwiązać na wyrażeniach ogólnych.
Jeśli w równaniu różniczkowym nie podano funkcji pobudzającej ani warunków początkowych (ze świadomością, że warunków początkowych nie ma) to oznacza, że układ dynamiczny znajduje się w spoczynku (stan ustalony) i w takim przypadku nie stosujemy metody Laplace'a.
Trochę przynudziłem. Pozdrawiam.
Równania różniczkowe wymyślono głównie do analizy stanu układów dynamicznych.
Układy dynamiczne w praktyce, to np:
1. Układ zawieszenia w samochodzie w chwili gdy samochód wpadnie w dziurę w jezdni,
2. Napęd walcarki w hucie przy produkcji szyn kolejowych w chwili utyku,
3. Temperatura w piecu podczas produkcji grafitu w chwili zaniku napięcia zasilania,
4. Kontenerowiec podczas zbliżania się do nabrzeża w porcie w chwili zerwania liny cumowniczej,
5. Sieć energetyczna w stanie zwarcia,
Mamy więc lewą stronę równania różniczkowego, która opisuje dynamikę obiektu oraz prawą stronę, która opisuje funkcję pobudzenia. Jeśli funkcji pobudzenia nie ma po prawej stronie RR, to oznacza że pobudzenie wykonało pracę i w efekcie powstały warunki początkowe dla chwili t=0+. Jeśli w zadaniu nie podano konkretnych liczb, należy RR rozwiązać na wyrażeniach ogólnych.
Jeśli w równaniu różniczkowym nie podano funkcji pobudzającej ani warunków początkowych (ze świadomością, że warunków początkowych nie ma) to oznacza, że układ dynamiczny znajduje się w spoczynku (stan ustalony) i w takim przypadku nie stosujemy metody Laplace'a.
Trochę przynudziłem. Pozdrawiam.
-
- Użytkownik
- Posty: 38
- Rejestracja: 4 lis 2010, o 16:28
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska :)
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 3 razy
Problem z transformatą Laplace'a (pytanie o szeczegół)
steal, transformata będzie równa zero jak całka Laplace'a będzie 0, a tak będzie jedynie w przypadku, gdy \(\displaystyle{ f(t)=0}\), bo \(\displaystyle{ e^{-s*t}}\) jest funkcją wykładniczą, czyli nie istnieje takie \(\displaystyle{ t \in R}\) dla którego \(\displaystyle{ e^{-s*t}=0}\). Owszem ta funkcja \(\displaystyle{ e^{-s*t}}\) będzie się zbliżać do zera ale go nie przekroczy, czyli 0 jest jej granicą.