przestrzen nieskonczenie wymiarowa
-
- Użytkownik
- Posty: 13
- Rejestracja: 6 lip 2011, o 18:14
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 1 raz
przestrzen nieskonczenie wymiarowa
Witam i proszę o pomoc
Potrzebuję informacji o jednoznaczności przedstawienia wektora w bazie przestrzeni nieskonczenie wymiarowej. Nie mogę znaleźć żadnych informacji odnoście tego tematu.
Potrzebuję informacji o jednoznaczności przedstawienia wektora w bazie przestrzeni nieskonczenie wymiarowej. Nie mogę znaleźć żadnych informacji odnoście tego tematu.
-
- Użytkownik
- Posty: 13
- Rejestracja: 6 lip 2011, o 18:14
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 1 raz
przestrzen nieskonczenie wymiarowa
jest bazą przestrzeni nieskonczenie wymiarowej wiec posiada nieskonczenie wiele wektorów. potrzbuję twierdzenia i dowodu i kompletnie nie wiem jak się do tego zabrać
-
- Użytkownik
- Posty: 5101
- Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 1001 razy
przestrzen nieskonczenie wymiarowa
Jeszcze raz pytam, co to jest baza? Jest kilka równoważnych definicji bazy przestrzeni liniowej. Jednoznaczność przedstawienia wektora w bazie może być wpisana w definicję bazy. Nie wiem jakiej definicji Ty używasz.
-
- Użytkownik
- Posty: 13
- Rejestracja: 6 lip 2011, o 18:14
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 1 raz
przestrzen nieskonczenie wymiarowa
używam definicji ze jest zbiorem liniowo niezaleznym i generuje przestrzen.
wiem ze jest rownowazne z tym ze maksymalny liniowo niezalezny i minimalny generator.
ale chodzi mi o twierdzenie o jednoznacznosci przedstawienia wektora w bazie ( w przestrzeni nieskonczenie wymiarowej) i dowod tego twierdzenia
wiem ze jest rownowazne z tym ze maksymalny liniowo niezalezny i minimalny generator.
ale chodzi mi o twierdzenie o jednoznacznosci przedstawienia wektora w bazie ( w przestrzeni nieskonczenie wymiarowej) i dowod tego twierdzenia
-
- Użytkownik
- Posty: 5101
- Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 1001 razy
przestrzen nieskonczenie wymiarowa
No to załóżmy, że pewien wektor ma dwa przedstawienia w bazie, tzn.
\(\displaystyle{ v=\sum_{i=1}^n a_iv_i=\sum_{i=1}^n b_iv_i}\),
gdzie \(\displaystyle{ v_i}\) są wektorami z bazy.
Co prawda te kombinacje liniowe nie muszą wykorzystywać dokładnie tych samych wektorów z bazy, ale można dodać kilka wektorów ze współczynnikami \(\displaystyle{ 0}\), dlatego można te kombinacje zapisać używając tych samych wektorów z bazy, tak jak wyżej.
Po odjęciu stronami otrzymujemy równość
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^n (a_i-b_i)v_i=\vec{0}}\).
Z liniowej niezależności wektorów z bazy wynika, że \(\displaystyle{ a_i-b_i=0}\) dla \(\displaystyle{ i=1,2,\ldots, n}\). Zatem oba przedstawienia wektorów w bazie były takie same.
\(\displaystyle{ v=\sum_{i=1}^n a_iv_i=\sum_{i=1}^n b_iv_i}\),
gdzie \(\displaystyle{ v_i}\) są wektorami z bazy.
Co prawda te kombinacje liniowe nie muszą wykorzystywać dokładnie tych samych wektorów z bazy, ale można dodać kilka wektorów ze współczynnikami \(\displaystyle{ 0}\), dlatego można te kombinacje zapisać używając tych samych wektorów z bazy, tak jak wyżej.
Po odjęciu stronami otrzymujemy równość
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^n (a_i-b_i)v_i=\vec{0}}\).
Z liniowej niezależności wektorów z bazy wynika, że \(\displaystyle{ a_i-b_i=0}\) dla \(\displaystyle{ i=1,2,\ldots, n}\). Zatem oba przedstawienia wektorów w bazie były takie same.
-
- Użytkownik
- Posty: 13
- Rejestracja: 6 lip 2011, o 18:14
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 1 raz
przestrzen nieskonczenie wymiarowa
praktycznie taki sam mam dowod dla przestrzeni skonczenie wymiarowej.
czym sie te dowody roznia?
-- 6 lip 2011, o 19:24 --
a czemu te sumowania sa oba do n a nie np jedno do n a drugie do m?-- 6 lip 2011, o 19:28 --Twierdzenie Niech B będzie bazą przestrzeni liniowej V (nieskończenie wymiarowej) nad ciałem K. Wówczas każdy wektor v∈V ma jednoznaczne przedstawienie jako kombinacja liniowa wektorów bazy B.
to twierdzenie jest dobrze sformulowane dla przestrzeni nieskonczenie wymiarowej??
czym sie te dowody roznia?
-- 6 lip 2011, o 19:24 --
a czemu te sumowania sa oba do n a nie np jedno do n a drugie do m?-- 6 lip 2011, o 19:28 --Twierdzenie Niech B będzie bazą przestrzeni liniowej V (nieskończenie wymiarowej) nad ciałem K. Wówczas każdy wektor v∈V ma jednoznaczne przedstawienie jako kombinacja liniowa wektorów bazy B.
to twierdzenie jest dobrze sformulowane dla przestrzeni nieskonczenie wymiarowej??
-
- Użytkownik
- Posty: 5101
- Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 1001 razy
przestrzen nieskonczenie wymiarowa
Ten dowód działa również dla przestrzeni skończenie wymiarowych, więc mogą się niczym nie różnić. Możesz mieć też dowód różniący się pewną subtelnością, która sprawia że działa on tylko dla skończenie wymiarowych przestrzeni.ula2712 pisze:praktycznie taki sam mam dowod dla przestrzeni skonczenie wymiarowej.
czym sie te dowody roznia?
Bo jeśli w drugiej sumie nie ma pewnego wektora \(\displaystyle{ v}\), a w pierwszej jest, to do drugiej sumy dopisuję składnik \(\displaystyle{ 0\cdot v}\). W ten sposób mogę założyć, że w obu sumach jest ten sam, skończony zbiór wektorów. Ponadto w obu sumach mogę te wektory zapisać w tej samej kolejności.ula2712 pisze: a czemu te sumowania sa oba do n a nie np jedno do n a drugie do m?
Tak. Ja napisałem, jak udowodnić jednoznaczność przedstawienia. To twierdzenie mówi jeszcze, że takie przedstawienie dla każdego wektora istnieje, ale to znaczy dokładnie tyle, że baza generuje przestrzeń, czyli nie trzeba nic dowodzić.ula2712 pisze: Twierdzenie Niech B będzie bazą przestrzeni liniowej V (nieskończenie wymiarowej) nad ciałem K. Wówczas każdy wektor v∈V ma jednoznaczne przedstawienie jako kombinacja liniowa wektorów bazy B.
to twierdzenie jest dobrze sformulowane dla przestrzeni nieskonczenie wymiarowej??
-
- Użytkownik
- Posty: 13
- Rejestracja: 6 lip 2011, o 18:14
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 1 raz
przestrzen nieskonczenie wymiarowa
pewnie ta subtelnoscia jest to ze tam mam baze \(\displaystyle{ B=\{v _{1} ,v _{2},...,v _{n}\}}\) i to jest dla skonczonego wymiaru a dla nieskonczonego bedzie pewnie ze \(\displaystyle{ B=\{v _{1} ,v _{2},...\}}\)
-- 6 lip 2011, o 21:26 --
jak juz nic nie napiszesz norwimaj to dziekuje cos mi sie tam rozjasnilo
dzieki
-- 6 lip 2011, o 21:26 --
jak juz nic nie napiszesz norwimaj to dziekuje cos mi sie tam rozjasnilo
dzieki
Ostatnio zmieniony 6 lip 2011, o 21:41 przez Crizz, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznać się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm (nawiasy klamrowe to w LaTeXu '\{', '\}' ).
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznać się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm (nawiasy klamrowe to w LaTeXu '\{', '\}' ).
-
- Użytkownik
- Posty: 5101
- Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 1001 razy
przestrzen nieskonczenie wymiarowa
i możesz w obu sumach napisać wszystkie wektory z bazy i niczym się nie przejmować.ula2712 pisze:pewnie ta subtelnoscia jest to ze tam mam baze B={v _{1} ,v _{2},...,v _{n}} i to jest dla skonczonego wymiaru
Zapisując w ten sposób tracisz na ogólności. Wektorów w bazie może być więcej niż liczb naturalnych, a wtedy nie da się zapisać tych wektorów w postaci ciągu.ula2712 pisze: a dla nieskonczonego bedzie pewnie ze B={v _{1} ,v _{2},...}
-
- Użytkownik
- Posty: 13
- Rejestracja: 6 lip 2011, o 18:14
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 1 raz
przestrzen nieskonczenie wymiarowa
no a mi własnie chodzi o tą drugą bazę to ktora ma nieskonczenie wiele wektorow i dla niej zrobic dowod ze jest jednoznaczne przedstawienie.
bo chodzi w tym chyba ze wybieramy skonczona ilosc wektorow, bierzemy skalary i robimy kombinacje liniowa i to jest niby jednoznaczne-- 6 lip 2011, o 21:38 --a ta baza jest nieprzeliczalna to nie mozemy jej chyba ustawic w ciag v1,v2,... ??
bo chodzi w tym chyba ze wybieramy skonczona ilosc wektorow, bierzemy skalary i robimy kombinacje liniowa i to jest niby jednoznaczne-- 6 lip 2011, o 21:38 --a ta baza jest nieprzeliczalna to nie mozemy jej chyba ustawic w ciag v1,v2,... ??
-
- Użytkownik
- Posty: 5101
- Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 1001 razy
przestrzen nieskonczenie wymiarowa
Kombinacja liniowa to jest suma skończona. Wzięliśmy dowolne dwie kombinacje liniowe, czyli sumy skończone. Jeśli w sumach tych były różne wektory, to odpowiednio uzupełniliśmy te sumy składnikami ze współczynnikami \(\displaystyle{ 0}\), tak żeby w obu sumach były te same wektory. Nadal mamy sumy skończone, bo suma dwóch zbiorów skończonych jest skończona. Wtedy możemy zapisać:
\(\displaystyle{ v=\sum_{i=1}^n a_iv_i=\sum_{i=1}^n b_iv_i}\).
I dalej jest już chyba jasne.
Gdyby przestrzeń była skończenie wymiarowa, to zamiast uzupełniać sumy tylko potrzebnymi wektorami (to znaczy tymi, które są w którejś z sum), moglibyśmy bardziej rozrzutnie uzupełnić sumy tak, żeby zawierały wszystkie wektory z bazy.
\(\displaystyle{ v=\sum_{i=1}^n a_iv_i=\sum_{i=1}^n b_iv_i}\).
I dalej jest już chyba jasne.
Gdyby przestrzeń była skończenie wymiarowa, to zamiast uzupełniać sumy tylko potrzebnymi wektorami (to znaczy tymi, które są w którejś z sum), moglibyśmy bardziej rozrzutnie uzupełnić sumy tak, żeby zawierały wszystkie wektory z bazy.
-
- Użytkownik
- Posty: 13
- Rejestracja: 6 lip 2011, o 18:14
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 1 raz
przestrzen nieskonczenie wymiarowa
myślę, że już czaję dzięki norwimaj
jak będzie źle to pewnie wrzesień
jak będzie źle to pewnie wrzesień
- Spektralny
- Użytkownik
- Posty: 3976
- Rejestracja: 17 cze 2011, o 21:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Praga, Katowice, Kraków
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 929 razy
przestrzen nieskonczenie wymiarowa
Ciekawostka: ZF + negacja pewnika wyboru jest niesprzeczna (o ile ZF jest niesprzeczna) i implikuje, że istnieje (koniecznie nieskończenie wymiarowa) przestrzeń liniowa bez bazy (Andreas Blass, 1984).