przestrzen nieskonczenie wymiarowa

[ula2712]

Witam i proszę o pomoc
Potrzebuję informacji o jednoznaczności przedstawienia wektora w bazie przestrzeni nieskonczenie wymiarowej. Nie mogę znaleźć żadnych informacji odnoście tego tematu.

[norwimaj]

A jak definiujesz bazę?

[ula2712]

jest bazą przestrzeni nieskonczenie wymiarowej wiec posiada nieskonczenie wiele wektorów. potrzbuję twierdzenia i dowodu i kompletnie nie wiem jak się do tego zabrać

[norwimaj]

Jeszcze raz pytam, co to jest baza? Jest kilka równoważnych definicji bazy przestrzeni liniowej. Jednoznaczność przedstawienia wektora w bazie może być wpisana w definicję bazy. Nie wiem jakiej definicji Ty używasz.

[ula2712]

używam definicji ze jest zbiorem liniowo niezaleznym i generuje przestrzen.
wiem ze jest rownowazne z tym ze maksymalny liniowo niezalezny i minimalny generator.
ale chodzi mi o twierdzenie o jednoznacznosci przedstawienia wektora w bazie ( w przestrzeni nieskonczenie wymiarowej) i dowod tego twierdzenia

[norwimaj]

No to załóżmy, że pewien wektor ma dwa przedstawienia w bazie, tzn.
\(\displaystyle{ v=\sum_{i=1}^n a_iv_i=\sum_{i=1}^n b_iv_i}\),
gdzie \(\displaystyle{ v_i}\) są wektorami z bazy.

Co prawda te kombinacje liniowe nie muszą wykorzystywać dokładnie tych samych wektorów z bazy, ale można dodać kilka wektorów ze współczynnikami \(\displaystyle{ 0}\), dlatego można te kombinacje zapisać używając tych samych wektorów z bazy, tak jak wyżej.

Po odjęciu stronami otrzymujemy równość
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^n (a_i-b_i)v_i=\vec{0}}\).

Z liniowej niezależności wektorów z bazy wynika, że \(\displaystyle{ a_i-b_i=0}\) dla \(\displaystyle{ i=1,2,\ldots, n}\). Zatem oba przedstawienia wektorów w bazie były takie same.

[ula2712]

praktycznie taki sam mam dowod dla przestrzeni skonczenie wymiarowej.
czym sie te dowody roznia?

-- 6 lip 2011, o 19:24 --

a czemu te sumowania sa oba do n a nie np jedno do n a drugie do m?-- 6 lip 2011, o 19:28 --Twierdzenie Niech B będzie bazą przestrzeni liniowej V (nieskończenie wymiarowej) nad ciałem K. Wówczas każdy wektor v∈V ma jednoznaczne przedstawienie jako kombinacja liniowa wektorów bazy B.

to twierdzenie jest dobrze sformulowane dla przestrzeni nieskonczenie wymiarowej??

[norwimaj]

praktycznie taki sam mam dowod dla przestrzeni skonczenie wymiarowej.
czym sie te dowody roznia?

Ten dowód działa również dla przestrzeni skończenie wymiarowych, więc mogą się niczym nie różnić. Możesz mieć też dowód różniący się pewną subtelnością, która sprawia że działa on tylko dla skończenie wymiarowych przestrzeni.

a czemu te sumowania sa oba do n a nie np jedno do n a drugie do m?

Bo jeśli w drugiej sumie nie ma pewnego wektora \(\displaystyle{ v}\), a w pierwszej jest, to do drugiej sumy dopisuję składnik \(\displaystyle{ 0\cdot v}\). W ten sposób mogę założyć, że w obu sumach jest ten sam, skończony zbiór wektorów. Ponadto w obu sumach mogę te wektory zapisać w tej samej kolejności.

Twierdzenie Niech B będzie bazą przestrzeni liniowej V (nieskończenie wymiarowej) nad ciałem K. Wówczas każdy wektor v∈V ma jednoznaczne przedstawienie jako kombinacja liniowa wektorów bazy B.

to twierdzenie jest dobrze sformulowane dla przestrzeni nieskonczenie wymiarowej??

Tak. Ja napisałem, jak udowodnić jednoznaczność przedstawienia. To twierdzenie mówi jeszcze, że takie przedstawienie dla każdego wektora istnieje, ale to znaczy dokładnie tyle, że baza generuje przestrzeń, czyli nie trzeba nic dowodzić.

[ula2712]

pewnie ta subtelnoscia jest to ze tam mam baze \(\displaystyle{ B=\{v _{1} ,v _{2},...,v _{n}\}}\) i to jest dla skonczonego wymiaru a dla nieskonczonego bedzie pewnie ze \(\displaystyle{ B=\{v _{1} ,v _{2},...\}}\)

-- 6 lip 2011, o 21:26 --

jak juz nic nie napiszesz norwimaj to dziekuje cos mi sie tam rozjasnilo
dzieki

[norwimaj]

pewnie ta subtelnoscia jest to ze tam mam baze B={v _{1} ,v _{2},...,v _{n}} i to jest dla skonczonego wymiaru

i możesz w obu sumach napisać wszystkie wektory z bazy i niczym się nie przejmować.

a dla nieskonczonego bedzie pewnie ze B={v _{1} ,v _{2},...}

Zapisując w ten sposób tracisz na ogólności. Wektorów w bazie może być więcej niż liczb naturalnych, a wtedy nie da się zapisać tych wektorów w postaci ciągu.

[ula2712]

no a mi własnie chodzi o tą drugą bazę to ktora ma nieskonczenie wiele wektorow i dla niej zrobic dowod ze jest jednoznaczne przedstawienie.

bo chodzi w tym chyba ze wybieramy skonczona ilosc wektorow, bierzemy skalary i robimy kombinacje liniowa i to jest niby jednoznaczne-- 6 lip 2011, o 21:38 --a ta baza jest nieprzeliczalna to nie mozemy jej chyba ustawic w ciag v1,v2,... ??

[norwimaj]

Kombinacja liniowa to jest suma skończona. Wzięliśmy dowolne dwie kombinacje liniowe, czyli sumy skończone. Jeśli w sumach tych były różne wektory, to odpowiednio uzupełniliśmy te sumy składnikami ze współczynnikami \(\displaystyle{ 0}\), tak żeby w obu sumach były te same wektory. Nadal mamy sumy skończone, bo suma dwóch zbiorów skończonych jest skończona. Wtedy możemy zapisać:
\(\displaystyle{ v=\sum_{i=1}^n a_iv_i=\sum_{i=1}^n b_iv_i}\).
I dalej jest już chyba jasne.

Gdyby przestrzeń była skończenie wymiarowa, to zamiast uzupełniać sumy tylko potrzebnymi wektorami (to znaczy tymi, które są w którejś z sum), moglibyśmy bardziej rozrzutnie uzupełnić sumy tak, żeby zawierały wszystkie wektory z bazy.

[ula2712]

myślę, że już czaję dzięki norwimaj
jak będzie źle to pewnie wrzesień

[Spektralny]

Ciekawostka: ZF + negacja pewnika wyboru jest niesprzeczna (o ile ZF jest niesprzeczna) i implikuje, że istnieje (koniecznie nieskończenie wymiarowa) przestrzeń liniowa bez bazy (Andreas Blass, 1984).

[ula2712]

a co to zf