3 podstawienia Eulera

[jarek17]

Witam, wiem, że pewnie zaraz okrzykniecie mnie pasożytem i w ogóle, ale patrząc na wikipedię i inne strony ze wzorami Eulera po 2h nie wydedukowałem nic.
Otóż mam 3 przykłady całki, po 1 podstawieniu do każdej. Prosiłbym jakiegoś mastera of integrals, żeby zrobił je krok po kroku. Wyjątkowo proszę o nie pisanie postów typu: "Spróbuj podstawienia \(\displaystyle{ \sqrt{x^2-x+1}= t-x}\) Bo to akurat wiem, że trzeba tak zacząć. Interesuje mnie głównie końcówka zadania. Ponieważ widząc rozwiązanie zrozumiem co jak i po co się wzięło. Z góry dziękuję.

I
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{dx}{x+ \sqrt{x^2-x+1}}}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{x^2-x+1}= t-x}\)

\(\displaystyle{ x = \frac{t^2 -1}{2t-1}}\)

Dalej nie wiem jak.

II
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{x dx}{\sqrt{1-x^2} -1}}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{1-x^2} = tx -1}\)

\(\displaystyle{ x = \frac{2t}{t^2 + 1}}\)

Dalej nie wiem


III
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{dx}{ \sqrt{-x^2 - x} } = \int_{}^{} \frac{dx}{ \sqrt{-x (x+1)} }}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{-x(x+1)}=t(x+1)}\)

\(\displaystyle{ x = \frac{-t^2}{t^2 +1}}\)

Dalej nie wiem

[Funktor]

Do pierwszej całki dam ci jeszcze wskazówkę może sobie poradzisz Jak dalej będzie cięzko to poradzimy więcej Mianowicie masz \(\displaystyle{ x}\) to policz \(\displaystyle{ dx}\) Fajnie by jeszcze ten pierwiastek wyrazić w zmiennej \(\displaystyle{ t}\), wstawiasz więc ten \(\displaystyle{ x}\) co wyznaczyłeś za \(\displaystyle{ x}\) z podstawienia - za ten co jest w \(\displaystyle{ t-x}\)

-- 6 lip 2011, o 17:08 --

Potem \(\displaystyle{ x}\) i pierwiastek wstawiasz do całki i masz nową całkę z funkcji wymiernej ( zmiennej t) której policzenie jest już proste ( przynajmniej ideowo bo rachunki mogą być ciężkie)

[jarek17]

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{dx}{x+ \sqrt{x^2-x+1}}}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{x^2-x+1}= t-x}\)

\(\displaystyle{ x = \frac{t^2 -1}{2t-1}}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{x^2-x+1}= t - \frac{t^2 -1}{2t-1}}\)

\(\displaystyle{ dx = \frac{2 (t^2-t+1)}{(2t-1)^2} dt}\)

Wnioskuję, że w mianowniku x + t -x to x mi się skróci więc zostanie samo t
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{\frac{2 (t^2-t+1)}{(2t-1)^2}}{t}}\)

Mam rację? I potem mam liczyć tę rzekomo łatwiejszą całkę? ;D

[Funktor]

Mi \(\displaystyle{ dx}\) wyszło \(\displaystyle{ \frac{3t^2-2t+1}{(2t-1)^2 } dt}\)

-- 6 lip 2011, o 18:00 --

natomiast \(\displaystyle{ t-x = \frac{t^2+t+1}{2t^2+1}}\)

[jarek17]

Co do dx to jestem na 99% pewien, że jest dobrze, bo liczyłem w programie
Po 4 wynikach moich obliczeń zasięgnąłem Derive.

[Funktor]

Ajć liczę i wychodzi mi inny wynik znowu ;] . Dobra waląc szczegóły rachunkowe. Ideą tych podstawień jest zamiana całki z pierwiastkami które na pierwszy rzut oka ciężko policzyć, na całki z funkcji wymiernych które są często rachunkowe ale bardziej zautomatyzowane jest ich liczenie ( aczkolwiek często można się wykpić od rachunków) jak wyglądają podstawienia wiesz. Wyliczasz \(\displaystyle{ x}\) , liczysz \(\displaystyle{ dx}\) pierwiastek który masz w całce zapisujesz w zmiennej \(\displaystyle{ t}\) x z całki podstawiasz x-em uzależnionym od t wstawiasz \(\displaystyle{ dt}\) i masz nową całęczkę do policzenia ;] i tak samo jest z każdym podstawieniem-- 6 lip 2011, o 18:12 --Ok \(\displaystyle{ dx}\) masz dobrze policzony sprawdziłem jeszcze raz ;]

[jarek17]

No dobrze, skoro napisałeś, że rzekomo i tak dalej (poddajesz wątpliwości działania p. Eulera) To jak inaczej wg Ciebie łatwiej będzie obliczyć te monstra?

[Funktor]

Nie poddaję w wątpliwość działań pana Eulera, wręcz odwrotnie, są one bardzo użyteczne ;] można te całki inaczej policzyć ale wymaga to dużo sprytu doświadczenia. Tutaj masz dużo rachunków ale poza tym to kręcenie korbą Co do wykpienia się od rachunków w całkach z funkcji wymiernych to różnie bywa, czasem zamiast rozkładać na pałę wyrażenie podcałkowe na ułamki proste można coś dodać coś odjąć i się wszystko poskraca. Są różne metody przewidywania, wydzielania części wymiernej całki itp. ale jeśli nie masz zamiaru być wirtuozem całek a mieć tylko podstawowe rzemiosło to rób to standardowo.

[jarek17]

Wiesz... Ogólnie nie lubię rozwiązywać czegoś na pałę, a nie czuję się Newtonem by wyprowadzać jakieś wzory, ale gdy zobaczę kilka rodzajów rozwiązań potem sobie siądę i przeanalizuję to to zrozumiem i potem nie ma problemu, dlatego nie lubię gdy ktoś mi mówi spróbuj tak a nie inaczej. Zatem jeśli ktoś nadal chętny do zrobienia tych całek to bardzo proszę.

[Funktor]

A czy rozwiązałeś kiedyś w swoim życiu chociaż jedną całkę z funkcji wymiernej ? Jeśłi tak to z tego co sobie popisaliśmy powinieneś bez problemów rozwiazać te zadania. , a rozwiązanych całek tutaj masz sporo : 82336.htm

[jarek17]

Około 100. Jednak patrząc na teoretyczne podstawienie Eulera potem się to wszystko ładnie skraca, stąd też moje wątpliwości i prośba o pomoc, ale ok. Bez tego też sobie może dam radę.

[mkacz]

Hmm... Do całki trzeciej możesz zastosować metodę współczynników nieoznaczonych... Chociaż Euler lepszy