nierówności kwadratowe z parametrem

[Union]

1.Wyznacz te wartości parametru p, dla których nierówność
\(\displaystyle{ (p-2)x^2+(p-2)x+p-1<0}\) nie ma rozwiązań.

delta mniejsza od zera ??

[aalmond]

Nie tylko. To nie musi być nierówność kwadratowa.

[piti-n]

\(\displaystyle{ a>0}\)
\(\displaystyle{ \Delta<0}\)
i dla p=2 też jest

[Union]

A dla \(\displaystyle{ a < 0}\) ??

[piti-n]

Jeśli dasz \(\displaystyle{ \Delta<0 \wedge a<0}\) to masz parabolę ramionami skierowaną w dół iczyli zawsze ujemną czyli nierówność jest spełniona dla każdej liczby rzeczywistej.

[Pancernik]

\(\displaystyle{ \left( p-2\right)x^2+\left( p-2\right)x+p-1<0\\
\Delta=\left( p-2\right)^2-4\left( p-2\right)\left( p-1\right)<0\\
p^2-4p+4-4p^2+4p+8p-8<0\\
-3p^2+8p-4<0\\
\Delta_p=8^2-4 \cdot \left( -3\right) \cdot \left( -4\right) \\
\Delta_p=64-48\\
\Delta_p=16\\
p_1= \frac{-8-4}{-6} =2\\
p_2= \frac{-8+4}{-6} = \frac{2}{3} \\
p\in\left( -\infty ;\frac{2}{3} \right) \cup \left( 2;\infty\right)}\)

[piti-n]

\(\displaystyle{ p-2 \ge 0 \\ p \ge 2}\)
Czyli ostateczny wunik to \(\displaystyle{ p>2}\)

[pyzol]

Dla wygody możemy wstawić nowy parametr:
\(\displaystyle{ p-2=m\\
p-1=m+1\\
\Delta=m^2-4m(m+1)=-3m^2-4m=-m(4+3m)}\)
Oczywiście później trzeba to wszystko odkręcić... Ale łatwiej się liczy.

[piasek101]

,,Podsumowując" \(\displaystyle{ p\geq 2}\).

[piti-n]

,,Podsumowując" \(\displaystyle{ p\geq 2}\).

\(\displaystyle{ p\in\left( -\infty ;\frac{2}{3} \right) \cup \left( 2;\infty\right) \cap p \ge 2 = p>2}\)

[Marcinek665]

piti-n, czyli dla \(\displaystyle{ p=2}\) nie zachodzi?

[piasek101]

\(\displaystyle{ p\in\left( -\infty ;\frac{2}{3} \right) \cup \left( 2;\infty\right) \cap p \ge 2 = p>2}\)

\(\displaystyle{ a>0}\)
\(\displaystyle{ \Delta<0}\)
i dla p=2 też jest

,,Podsumowując" ...

[piti-n]

no racja, zasugerowałem się rozwiązaniem które dał Pancernik,