Rozkład dwumianowy i Poissona - wyprowadzenie

[Beyo]

Witam, walczę ostatnio z rozkładami dwumianowym i Poissona.

W rozkładzie dwumianowym mam prawdopodobieństwo jak wiadomo równe:
\(\displaystyle{ P(k)=\frac{n!}{k!(n-k)!}p^k(1-p)^{n-k}}\)

teraz jak pokazać że \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^n P(k)=1}\) ? Czy to jest zapis unormowania jak z całką po wszystkim = 1 by pokazać że w jakimś stanie układ znajduje się na pewno?

Mam też problem jak wyprowadzić oba momenty tzn. \(\displaystyle{ <k>}\) i \(\displaystyle{ <k^2>}\) , z wariancją to już sobie poradzę.

Podobnie mam problem jak z tego przejść do wzoru Poissona, przy warunkach \(\displaystyle{ p\rightarrow 0}\) i \(\displaystyle{ n\rightarrow 0}\)
w książkach znajduje tylko fragmenty typu "jak widać z powyższego wzoru", albo "po prostych przekształceniach dochodzimy do..."

Jakaś dobra dusza pomoże i naprowadzi?

[miodzio1988]

W rozkładzie normalnym mam prawdopodobieństwo jak wiadomo równe:
\(\displaystyle{ P(k)=\frac{n!}{k!(n-k)!}p^k(1-p)^{n-k}}\)

ehem....na pewno?

[Beyo]

Ups cały czas mam na myśli rozkład dwumianowy ,przepraszam już poprawiłem

[miodzio1988]

\(\displaystyle{ (x+y)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}x^{n-k}y^k.}\)

z tego skorzystaj

[Beyo]

No z tego rzeczywiście wyjdzie 1 przykład =1.
A to jest jakieś twierdzenie? Bo jakoś nie wpadłbym na to że to jest tyle równe

[miodzio1988]

Dwumian Newtona zwykły to jest

[Beyo]

Faktycznie, ja już nie myślę jak jest późno