istnienie podgrupy normalnej

[darek20]

Witam
Jak dowieść, że dla każdego \(\displaystyle{ m \geq 1}\) skonczona grupa rzedu \(\displaystyle{ pq^m}\) (p,q-liczby pierwsze) nie jest grupą prostą?

[szw1710]

Wiesz, ostatnio tego typu algebrą zajmowałem się 20 lat temu na studiach, ale kojarzy mi się to z twierdzeniem Sylowa. Nie mówi ono bezpośrednio o podgrupie normalnej, ale o istnieniu podgrupy Sylowa. Spróbuj zbadać czy czasem nie jest ona dzielnikiem normalnym. Osobno trzeba by zbadać przypadek p=q. Nie jest to takie trywialne, bo nie każda grupa rzędu \(\displaystyle{ q^n}\) jest cykliczna (np. czwórka Kleina).

[max]

To jest chyba fajne i niestandardowe zadanko. Ostatnio podrzucił mi je zdolniejszy kolega i nie znalazłem rozwiązania. Jakby bardzo zależało Ci na rozwiązaniu, to widziałem to zadanie w zbiorze Dixona - Group Theory, w zbiorze tym też są rozwiązania do zadań (przynajmniej tych "gwiazdkowych").

[szw1710]

Słuchajcie, jest też podana klasyfikacja wszystkich skończonych grup prostych, co było swego czasu nie lada problemem, ale jest w całości zrobione. Ale zapewne zadanie dało by się zrobić bez takiej armaty.

[max]

A dowód ma łącznie podobno kilka tysięcy stron.
Mniejsza armata to twierdzenie Burnside'a o rozwiązalności grup rzędu \(\displaystyle{ p^{n}q^{m}}\), ale wydaje mi się, że rozwiązanie tego zadania jest istotnie krótsze i bardziej elementarne od dowodu tego twierdzenia.

[max]

Wreszcie znalazłem czas, żeby zapisać argument (po dużych wskazówkach jakie dostałem w październiku):

Lemat 1.
Jeśli \(\displaystyle{ Q}\) jest q-grupą skończoną, \(\displaystyle{ H}\) jest podgrupą właściwą \(\displaystyle{ Q}\), to \(\displaystyle{ H}\) jest podgrupą właściwą swojego normalizatora \(\displaystyle{ N(H)}\).
Dowód lematu. \(\displaystyle{ \blacksquare}\)

Lemat 2.
Załóżmy, że \(\displaystyle{ G}\) jest grupą skończoną, \(\displaystyle{ q^{k}\mid |G|}\) i \(\displaystyle{ L_{q}\not\equiv 1\pmod{q^{k}},}\) gdzie \(\displaystyle{ L_{q}}\) jest liczbą q-podgrup Sylowa \(\displaystyle{ G}\).
Wtedy istnieją dwie różne q-podgrupy Sylowa \(\displaystyle{ Q,R < G}\) spełniające \(\displaystyle{ [Q:R\cap Q] \mid q^{k-1}}\) (w szczególności \(\displaystyle{ R\cap Q\neq \{1\}}\)).

Dowód lematu:

Ustalmy pewną q-podgrupę Sylowa \(\displaystyle{ Q<G}\).
Zauważamy na wstępie, że dla dowolnej q-podgrupy Sylowa \(\displaystyle{ R}\) zachodzi równość:
\(\displaystyle{ Q\cap R = Q\cap N_{G}(R)}\)
(czyli \(\displaystyle{ Q\cap R}\) jest stabilizatorem \(\displaystyle{ R}\) w działaniu \(\displaystyle{ Q}\) na q-podgrupy Sylowa \(\displaystyle{ G}\) poprzez sprzężenia):
natychmiast z definicji mamy bowiem \(\displaystyle{ Q\cap N_{G}(R) > Q\cap R,}\) natomiast druga inkluzja wynika z faktu, że \(\displaystyle{ Q\cap N_{G}(R)}\) jako q-podgrupa zawiera się w pewnej q-podgrupie Sylowa \(\displaystyle{ N_{G}(R)}\), a jedyną taką podgrupą jest \(\displaystyle{ R}\) (z twierdzenia Sylowa, bo \(\displaystyle{ R\triangleleft N_{G}(R)}\)).

Dalej dowodzimy nie wprost.
Gdyby dla wszystkich q-podgrup Sylowa \(\displaystyle{ R\neq Q}\) było \(\displaystyle{ q^{k}\mid [Q:Q\cap R]}\) to (jako, że moc orbity w działaniu grupy na zbiorze skończonym jest równa indeksowi stabilizatora) orbity w działaniu \(\displaystyle{ Q}\) na q-podgrupach Sylowa \(\displaystyle{ G}\) poprzez sprzężenie, miałyby liczby elementów podzielne przez \(\displaystyle{ q^{k}}\), za wyjątkiem jednoelementowej orbity \(\displaystyle{ \{Q\}}\).
Stąd liczba q-podgrup Sylowa zapisywałaby się w postaci \(\displaystyle{ 1 + lq^{k}}\) - sprzeczność z założeniem.\(\displaystyle{ \blacksquare}\)

Wracamy do rozwiązania wyjściowego problemu:

Oznaczmy naszą grupę przez \(\displaystyle{ G.}\)

Z twierdzenia Sylowa możemy bez straty ogólności przyjąć, że liczba q-podgrup Sylowa wynosi \(\displaystyle{ p}\), a liczba p-podgrup Sylowa jest równa \(\displaystyle{ q^{k}}\) dla pewnego \(\displaystyle{ 1\le k \le m}\) spełniającego \(\displaystyle{ p\mid q^{k}-1}\).
W szczególności \(\displaystyle{ q^{m}\nmid p-1}\), bo \(\displaystyle{ p\le q^{k}-1}\).
Zatem z drugiego lematu istnieją takie q-podgrupy Sylowa \(\displaystyle{ Q_{1},Q_{2}}\), że \(\displaystyle{ |Q_{1}\cap Q_{2}| = q^{s},\ s > 0}\).
Weźmy takie podgrupy, żeby s było maksymalne.
Niech \(\displaystyle{ H:= Q_{1}\cap Q_{2}}\).
Z pierwszego lematu \(\displaystyle{ N_{i} := N_{Q_{i}}(H) \ngeq H.}\)

Przyjrzyjmy się grupie \(\displaystyle{ \langle N_{1},N_{2}\rangle =: N}\)

Gdyby \(\displaystyle{ N}\) było q-grupą, to \(\displaystyle{ N < Q_{0}}\) dla pewnej q-podgrupy Sylowa \(\displaystyle{ Q_{0}}\) w \(\displaystyle{ G}\).
Ale wtedy:
\(\displaystyle{ Q_{0}\cap Q_{1} > N\cap N_{1} \ngeq H}\)
- sprzeczność z maksymalnością \(\displaystyle{ H}\) (tzn. z maksymalnością \(\displaystyle{ s}\)).

Zatem \(\displaystyle{ \langle N_{1},N_{2}\rangle}\) ma nietrywialną p-podgrupę \(\displaystyle{ P,}\) która jednocześnie jest p-podgrupą Sylowa \(\displaystyle{ G.}\)

Zauważmy teraz, że \(\displaystyle{ N_{G}(H) > \langle N_{1},N_{2}\rangle > P}\).
W szczególności \(\displaystyle{ xHx^{-1} = H<Q_{1}}\) dla każdego \(\displaystyle{ x\in P,}\) oraz \(\displaystyle{ yHy^{-1} < Q_{1}}\) dla każdego \(\displaystyle{ y \in Q_{1}.}\)
Ale \(\displaystyle{ \langle P,Q_{1}\rangle = G,}\) zatem \(\displaystyle{ gHg^{-1} < Q_{1}}\) dla każdego \(\displaystyle{ g\in G.}\)
Stąd
\(\displaystyle{ \langle \{ghg^{-1}\ : \ g\in G, h\in H\}\rangle = \left\langle \bigcup_{g\in G} gHg^{-1}\right\rangle < Q_{1}.}\)
A z drugiej strony \(\displaystyle{ \langle \{ghg^{-1}\ : \ g\in G, h\in H\}\rangle}\) jest podgrupą normalną \(\displaystyle{ G}\) zawierającą nietrywialną podgrupę \(\displaystyle{ H.}\)
Jest to więc nietrywialna podgrupa normalna \(\displaystyle{ G}\).