Niech f(x) .... Wówczas f(11) jest liczbą ...

[misio_klb]

Niech \(\displaystyle{ f(x)= \frac{ x^{10}-1 }{x-1}}\)
Wówczas \(\displaystyle{ f(11)}\) jest liczbą :
A całkowitą
B całkowita parzystą
C całkowitą podzielną przez 3
D całkowitą podzielną przez 10

Proszę o rozwiązanie tego zadania, sprawia mi problemy i nie mam pojęcia jak się do tego zabrać .

[piti-n]

Podstaw 11 pod każdego iksa i sprawdź która odpowiedź jest prawidłowa

[Spektralny]

W tym wypadku wystarczy przewidzieć ostatnią cyfrę liczby \(\displaystyle{ 11^{10}}\), którą jest 1 (dlaczego?).
Jeżeli liczba \(\displaystyle{ a}\) ma ostatnią cyfrę równą 1, to \(\displaystyle{ a-1}\) dzieli się przez 10. Jeżeli odgadniesz jeszcze przedostatnią cyfrę (0), to będziesz miał odpowiedź. Odpowiedzi A,B,D są poprawne. Nad C musiałbym pomyśleć.

[Vax]

A) Oczywiste co wynika ze wzoru \(\displaystyle{ a^n-1 = (a-1)(a^{n-1}+a^{n-2}+...+a+1)}\)

B) j/w

C) \(\displaystyle{ 11^{10}-1 \equiv 121^5-1 \equiv 1-1 \equiv 0 \pmod{30}}\) więc dane wyrażenie dzieli się przez 3

D) \(\displaystyle{ 11^{10}-1 \equiv 121^5-1 \equiv 21^5-1 \equiv 21\cdot 41^2 -1 \equiv 21\cdot 81-1 \equiv 0\pmod{100}}\) więc jest również podzielne przez 10.

[misio_klb]

A) Oczywiste co wynika ze wzoru \(\displaystyle{ a^n-1 = (a-1)(a^{n-1}+a^{n-2}+...+a+1)}\)

B) j/w

C) \(\displaystyle{ 11^{10}-1 \equiv 121^5-1 \equiv 1-1 \equiv 0 \pmod{30}}\) więc dane wyrażenie dzieli się przez 3

D) \(\displaystyle{ 11^{10}-1 \equiv 121^5-1 \equiv 21^5-1 \equiv 21\cdot 41^2 -1 \equiv 21\cdot 81-1 \equiv 0\pmod{100}}\) więc jest również podzielne przez 10.

Nie rozumiem za bardzo odp. C i D(z tymi mod, mógłbyś jaśniej jakoś?) . Tak na marginesie to poprawne są ABD , a C, którą uznałeś za poprawną jest zła.

[bakala12]

Moim zdaniem odnośnie C to powinno być:
to co tu było jest źle
Vax ma racje

[Vax]

Wszystkie odpowiedzi są poprawne, nie zawsze książka ma rację Jeżeli nie wystarcza Ci dowód podany wyżej to możesz sprawdzić np tak:



Jak widać otrzymaliśmy liczbę całkowitą, więc dane wyrażenie jest podzielne przez 3, jeżeli nie chcesz korzystać z symbolu kongruencji możesz z nich skorzystać inaczej, zauważ, że

\(\displaystyle{ \frac{11^{10}-1}{10} = 1+11^2+11^3+...+11^9(*)}\) o czym pisałem w poprzednim poście, ale \(\displaystyle{ (*) = 1+(12-1)+(12-1)^2+(12-1)^3+...+(12-1)^9}\) teraz zauważ, że po rozwinięciu każdego z nawiasów, wszystkie składniki oprócz ostatniego będą podzielne przez 12 (wynika to z dwumianu Newtona), czyli tym bardziej przez 3, stąd badając podzielność przez 3 wystarczy sprawdzić, czy suma ostatnich wyrazów będzie podzielna przez 3, istotnie, otrzymujemy wówczas (przy nawiasie z nieparzystą potęgą ostatni wyraz zostaje ujemny):

\(\displaystyle{ 1+(-1)+1+(-1)+...+1+(-1) = 0}\) co oczywiście jest podzielne przez 3.