Niech \(\displaystyle{ f(x)= \frac{ x^{10}-1 }{x-1}}\)
Wówczas \(\displaystyle{ f(11)}\) jest liczbą :
A całkowitą
B całkowita parzystą
C całkowitą podzielną przez 3
D całkowitą podzielną przez 10
Proszę o rozwiązanie tego zadania, sprawia mi problemy i nie mam pojęcia jak się do tego zabrać .
Niech f(x) .... Wówczas f(11) jest liczbą ...
- Spektralny
- Użytkownik
- Posty: 3976
- Rejestracja: 17 cze 2011, o 21:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Praga, Katowice, Kraków
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 929 razy
Niech f(x) .... Wówczas f(11) jest liczbą ...
W tym wypadku wystarczy przewidzieć ostatnią cyfrę liczby \(\displaystyle{ 11^{10}}\), którą jest 1 (dlaczego?).
Jeżeli liczba \(\displaystyle{ a}\) ma ostatnią cyfrę równą 1, to \(\displaystyle{ a-1}\) dzieli się przez 10. Jeżeli odgadniesz jeszcze przedostatnią cyfrę (0), to będziesz miał odpowiedź. Odpowiedzi A,B,D są poprawne. Nad C musiałbym pomyśleć.
Jeżeli liczba \(\displaystyle{ a}\) ma ostatnią cyfrę równą 1, to \(\displaystyle{ a-1}\) dzieli się przez 10. Jeżeli odgadniesz jeszcze przedostatnią cyfrę (0), to będziesz miał odpowiedź. Odpowiedzi A,B,D są poprawne. Nad C musiałbym pomyśleć.
- Vax
- Użytkownik
- Posty: 2913
- Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 612 razy
Niech f(x) .... Wówczas f(11) jest liczbą ...
A) Oczywiste co wynika ze wzoru \(\displaystyle{ a^n-1 = (a-1)(a^{n-1}+a^{n-2}+...+a+1)}\)
B) j/w
C) \(\displaystyle{ 11^{10}-1 \equiv 121^5-1 \equiv 1-1 \equiv 0 \pmod{30}}\) więc dane wyrażenie dzieli się przez 3
D) \(\displaystyle{ 11^{10}-1 \equiv 121^5-1 \equiv 21^5-1 \equiv 21\cdot 41^2 -1 \equiv 21\cdot 81-1 \equiv 0\pmod{100}}\) więc jest również podzielne przez 10.
B) j/w
C) \(\displaystyle{ 11^{10}-1 \equiv 121^5-1 \equiv 1-1 \equiv 0 \pmod{30}}\) więc dane wyrażenie dzieli się przez 3
D) \(\displaystyle{ 11^{10}-1 \equiv 121^5-1 \equiv 21^5-1 \equiv 21\cdot 41^2 -1 \equiv 21\cdot 81-1 \equiv 0\pmod{100}}\) więc jest również podzielne przez 10.
-
- Użytkownik
- Posty: 41
- Rejestracja: 16 lis 2009, o 16:40
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Opolskie
- Podziękował: 2 razy
Niech f(x) .... Wówczas f(11) jest liczbą ...
Nie rozumiem za bardzo odp. C i D(z tymi mod, mógłbyś jaśniej jakoś?) . Tak na marginesie to poprawne są ABD , a C, którą uznałeś za poprawną jest zła.Vax pisze:A) Oczywiste co wynika ze wzoru \(\displaystyle{ a^n-1 = (a-1)(a^{n-1}+a^{n-2}+...+a+1)}\)
B) j/w
C) \(\displaystyle{ 11^{10}-1 \equiv 121^5-1 \equiv 1-1 \equiv 0 \pmod{30}}\) więc dane wyrażenie dzieli się przez 3
D) \(\displaystyle{ 11^{10}-1 \equiv 121^5-1 \equiv 21^5-1 \equiv 21\cdot 41^2 -1 \equiv 21\cdot 81-1 \equiv 0\pmod{100}}\) więc jest również podzielne przez 10.
- Vax
- Użytkownik
- Posty: 2913
- Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 612 razy
Niech f(x) .... Wówczas f(11) jest liczbą ...
Wszystkie odpowiedzi są poprawne, nie zawsze książka ma rację Jeżeli nie wystarcza Ci dowód podany wyżej to możesz sprawdzić np tak:
Jak widać otrzymaliśmy liczbę całkowitą, więc dane wyrażenie jest podzielne przez 3, jeżeli nie chcesz korzystać z symbolu kongruencji możesz z nich skorzystać inaczej, zauważ, że
\(\displaystyle{ \frac{11^{10}-1}{10} = 1+11^2+11^3+...+11^9(*)}\) o czym pisałem w poprzednim poście, ale \(\displaystyle{ (*) = 1+(12-1)+(12-1)^2+(12-1)^3+...+(12-1)^9}\) teraz zauważ, że po rozwinięciu każdego z nawiasów, wszystkie składniki oprócz ostatniego będą podzielne przez 12 (wynika to z dwumianu Newtona), czyli tym bardziej przez 3, stąd badając podzielność przez 3 wystarczy sprawdzić, czy suma ostatnich wyrazów będzie podzielna przez 3, istotnie, otrzymujemy wówczas (przy nawiasie z nieparzystą potęgą ostatni wyraz zostaje ujemny):
\(\displaystyle{ 1+(-1)+1+(-1)+...+1+(-1) = 0}\) co oczywiście jest podzielne przez 3.
Jak widać otrzymaliśmy liczbę całkowitą, więc dane wyrażenie jest podzielne przez 3, jeżeli nie chcesz korzystać z symbolu kongruencji możesz z nich skorzystać inaczej, zauważ, że
\(\displaystyle{ \frac{11^{10}-1}{10} = 1+11^2+11^3+...+11^9(*)}\) o czym pisałem w poprzednim poście, ale \(\displaystyle{ (*) = 1+(12-1)+(12-1)^2+(12-1)^3+...+(12-1)^9}\) teraz zauważ, że po rozwinięciu każdego z nawiasów, wszystkie składniki oprócz ostatniego będą podzielne przez 12 (wynika to z dwumianu Newtona), czyli tym bardziej przez 3, stąd badając podzielność przez 3 wystarczy sprawdzić, czy suma ostatnich wyrazów będzie podzielna przez 3, istotnie, otrzymujemy wówczas (przy nawiasie z nieparzystą potęgą ostatni wyraz zostaje ujemny):
\(\displaystyle{ 1+(-1)+1+(-1)+...+1+(-1) = 0}\) co oczywiście jest podzielne przez 3.