Poniższe wzory służą do wyznaczenia minimalnej liczby pomiarów w celu oszacowania wartości średniej lub proporcji z ustalonym maksymalnym błędem oraz zadanym poziomie ufności. Obliczone wartości zawsze zaokrąglamy w górę.
Model dla wartości średniej o znanym odchyleniu standardowym
Zmienna \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład normalny: \(\displaystyle{ X \sim N( \mu, \sigma )}\) \(\displaystyle{ \sigma}\) - odchylenie standardowe \(\displaystyle{ d}\) - maksymalny dopuszczalny błąd pomiaru \(\displaystyle{ \alpha}\) - poziom istotności \(\displaystyle{ z_{1-\frac{\alpha}{2}}}\) - wartość krytyczna odczytana z
Wówczas: \(\displaystyle{ \boxed{n \ge \left( z_{1-\frac{\alpha}{2}} \frac{\sigma}{d} \right)^2 }}\)
Przykład
Ukryta treść:
Jak dużą próbę należy wybrać z populacji o rozkładzie normalnym szukanej cechy \(\displaystyle{ N(\mu ;1,2)}\), aby oszacować wartość średnią z maksymalnym błędem 0,2 na poziomie ufności 0,95?
Obliczamy: \(\displaystyle{ \sigma = 1,2 \\
d = 0,2 \\
\alpha = 0,05 \\
z_{0,975} = 1,96 \\
n \ge \left( 1,96 \cdot \frac{1,2}{0,2} \right)^2 \approx 138,3}\)
Próbka musi mieć co najmniej 139 obserwacji.
Model dla wartości średniej o nieznanym odchyleniu standardowym
Zmienna \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład normalny: \(\displaystyle{ X \sim N( \mu, \sigma )}\) \(\displaystyle{ n_0}\) - rozmiar próby wstępnej \(\displaystyle{ s}\) - odchylenie standardowe oszacowane z próby wstępnej \(\displaystyle{ d}\) - maksymalny dopuszczalny błąd pomiaru \(\displaystyle{ \alpha}\) - poziom istotności \(\displaystyle{ t^{n_0 - 1}_{1-\frac{\alpha}{2}}}\) - wartość krytyczna odczytana z
Wówczas: \(\displaystyle{ \boxed{n \ge \left( t^{n_0 - 1}_{1-\frac{\alpha}{2}} \frac{s}{d} \right)^2 }}\)
Przykład
Ukryta treść:
Jak dużą próbę należy wybrać z populacji o rozkładzie normalnym szukanej cechy \(\displaystyle{ N(\mu ; \sigma)}\), aby oszacować wartość średnią z maksymalnym błędem 0,2 na poziomie ufności 0,95? W badaniu pilotażowym na 20-osobowej grupie ustalono, że wariancja wynosi 1,44.
Obliczamy: \(\displaystyle{ n_0 = 20 \\
s^2 = 1,44 \ \Rightarrow \ s = 1,2 \\
d = 0,2 \\
\alpha = 0,05 \\
t^{19}_{0,975} = 2,09 \\
n \ge \left( 2,09 \cdot \frac{1,2}{0,2} \right)^2 \approx 157,3}\)
Próbka musi mieć co najmniej 158 obserwacji.
Model dla proporcji o znanym szacunkowym odsetku
Zmienna \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład dwupunktowy, \(\displaystyle{ P(X=1)=p}\) \(\displaystyle{ p_0}\) - znany szacunkowy procent \(\displaystyle{ d}\) - maksymalny dopuszczalny błąd pomiaru \(\displaystyle{ \alpha}\) - poziom istotności \(\displaystyle{ z_{1-\frac{\alpha}{2}}}\) - wartość krytyczna odczytana z [url=http://pl.wikisource.org/wiki/Tablica_rozk%C5%82adu_normalnego]tablicy rozkładu normalnego[/url]
Wówczas: \(\displaystyle{ \boxed{n \ge z^2_{1-\frac{\alpha}{2}} \frac{p_0 (1-p_0)}{d^2}}}\)
Przykład
Ukryta treść:
Według szacunków partię X popiera 27% wyborców. Jak dużą próbę należy wybrać z populacji aby oszacować odsetek zwolenników tej partii z maksymalnym błędem 0,05 na poziomie istotności 5%?
Obliczamy: \(\displaystyle{ p_0 = 0,27 \\
d = 0,05 \\
\alpha = 0,05 \\
z_{0,975} = 1,96 \\
n \ge 1,96^2 \cdot \frac{0,27 \cdot 0,73}{0,05^2} \approx 302,9}\)
Trzeba zbadać co najmniej 303 osoby.
Model dla proporcji o nieznanym szacunkowym odsetku
Zmienna \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład dwupunktowy, \(\displaystyle{ P(X=1)=p}\) \(\displaystyle{ d}\) - maksymalny dopuszczalny błąd pomiaru \(\displaystyle{ \alpha}\) - poziom istotności \(\displaystyle{ z_{1-\frac{\alpha}{2}}}\) - wartość krytyczna odczytana z [url=http://pl.wikisource.org/wiki/Tablica_rozk%C5%82adu_normalnego]tablicy rozkładu normalnego[/url]
Wówczas: \(\displaystyle{ \boxed{n \ge z^2_{1-\frac{\alpha}{2}} \frac{1}{4d^2}}}\)
Przykład
Ukryta treść:
Jak dużą próbę należy wybrać z populacji aby oszacować odsetek zwolenników partii X z maksymalnym błędem 0,05 na poziomie istotności 5%?
Obliczamy: \(\displaystyle{ d = 0,05 \\
\alpha = 0,05 \\
z_{0,975} = 1,96 \\
n \ge 1,96^2 \cdot \frac{1}{4 \cdot 0,05^2} \approx 384,2}\)
Trzeba zbadać co najmniej 385 osób.