Zbadać ciągłość funkcji, asymptoty funkcji, pole obszaru

[franklin]

Można liczyc na pomoc? Ostatni termin sie zbliza a ja nie bardzo to rozumiem. Sa 4 grupy także jakby ktos zrobil chociaz po jednym przykladzie z kazdego to pozostale 3 bym sam powalczyl.
Czy jest ktos moze z Katowic co by zrobil te zadania za np 4pak?

ZAD 1
Zbadać czy funkcja dana wzorem jest ciągła
a)
\(\displaystyle{ f(x) = \begin{cases} \frac{x^2+3x-4}{x-1} \quad x<1 \\ -x +7 \quad x \ge 1 \end{cases}}\)
b)
\(\displaystyle{ f(x) = \begin{cases} \frac{x^2-4x+3}{x-3} \quad x<3 \\ -x +5 \quad x \ge 3 \end{cases}}\)

ZAD 2
Wyznaczyc asymptoty funkcji

a)
\(\displaystyle{ f(x)= \frac{6x^2-3x}{-2x+3}}\)
b)
\(\displaystyle{ f(x)= \frac{-6x^2-2x}{3x+2}}\)

ZAD 3
Znaleźć ekstrema i punkty przegiecia oraz zbadac monotonicznosc i wypuklosc funkcji

a)
\(\displaystyle{ y=-x^3+5x^2+8x-1}\)
b)
Tutaj nie mam poczatku tylko odrazu zapisana obliczona pierwsza pochodna
\(\displaystyle{ 3x^2-8x-16}\)

ZAD 4
Obliczyc pole obszaru ograniczonego krzywymi
a)
\(\displaystyle{ y=x \quad y=x^2-2}\)
b)
\(\displaystyle{ y=x \quad y=6-x^2}\)

[pyzol]

Zad 1. Oblicz granice lewo i prawostronne, w odpowiednim punkcie.

[franklin]

ZAD 1
a)
\(\displaystyle{ f(x) = \begin{cases} \frac{x^2+3x-4}{x-1} \quad x<1 \\ -x +7 \quad x \ge 1 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 1^- } \quad \frac{x^2+3x-4}{x-1} = \frac{1+3-4}{1-1} = \infty ^-}\)

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 1^+ } \quad \frac{x^2+3x-4}{x-1} = \frac{1+3-4}{1-1} = \infty ^+}\)

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 1^- } \quad -x+7 = -1+7 = \infty ^+}\)

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 1^+ } \quad -x+7 = -1+7 = \infty ^+}\)

ZAD 3
a)
\(\displaystyle{ y=-x^3+5x^2+8x-1}\)

licze pochodna

\(\displaystyle{ f(x)'= -3x^2+10x+8}\)

teraz delta

\(\displaystyle{ \Delta = 100-96 \\
\sqrt{ \Delta } = 2}\)

licze \(\displaystyle{ x_1}\) i \(\displaystyle{ x_2}\)

\(\displaystyle{ x_{1}= \frac{-10-2}{4}= -3}\)

\(\displaystyle{ x_{2}= \frac{-10+2}{4}= 2}\)

wypisuje mini i max funkcji

min funkcji = \(\displaystyle{ -3}\)
max funkcji = \(\displaystyle{ 2}\)

\(\displaystyle{ f'(x)}\) jest rosnaca w przedziałach \(\displaystyle{ (- \infty ,-3) \cup (2, \infty )}\)
\(\displaystyle{ f'(x)}\) jest malejaca w przedziałach \(\displaystyle{ (-3,2)}\)

Licze pochodna pochodnej

\(\displaystyle{ f"(x)= -6x+10\\
-6x = 10 / (-6) \\ \\
x= \frac{-6}{10} \\ \\
x= - \frac{3}{5}}\)

\(\displaystyle{ f}\) wypukłe w przedziale \(\displaystyle{ \left( -\frac{3}{5} , \infty \right)}\)

\(\displaystyle{ f}\) wklesłe w przedziale \(\displaystyle{ \left( \infty , - \frac{3}{5} \right)}\)

punkt przegięcia: \(\displaystyle{ - \frac{3}{5}}\)



b)
Tutaj nie mam poczatku tylko odrazu zapisana obliczona pierwsza pochodna
\(\displaystyle{ f(x) = 3x^2-8x-16}\)

[pyzol]

\(\displaystyle{ \lim_{x\to 1^{-}}f(x)=\lim_{x\to 1^{-}} \frac{x^2+3x-4}{x-1}\\
\lim_{x\to 1^{+}}f(x)= \lim_{x\to 1^{+}}(-x +7)}\)
Druga sprawa, to że nie umiesz policzyć lewostronnej granicy. Jak podstawiasz to wychodzi symbol nieoznaczony 0 przez 0. W takim przypadku staramy się wyciągnąć \(\displaystyle{ x-1}\) przed nawias.

[franklin]

ZAD 1
a)
\(\displaystyle{ f(x) = \begin{cases} \frac{x^2+3x-4}{x-1} \quad x<1 \\ -x +7 \quad x \ge 1 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 1^- } \quad \frac{x^2+3x-4}{x-1} = \frac{(x-1)(x^2+3x-4)}{x-1} =}\)
nie mam pojecia ile ma byc w nawiasie, (x+3-4) ?

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 1^+ } \quad \frac{x^2+3x-4}{x-1} = \frac{1+3-4}{1-1} = \infty ^+}\)

w tym wypadku nie ma co wyciagac, wiec tu jest dobrze podstawione?
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 1^- } \quad -x+7 = -1+7 = \infty ^+}\)

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 1^+ } \quad -x+7 = -1+7 = \infty ^+}\)


A jak zadanie 3?-- 3 lip 2011, o 17:23 --ZAD 2
Asymptoty
a)
\(\displaystyle{ f(x)= \frac{6x^2-3x}{-2x+3}}\)

\(\displaystyle{ Df = -2x+3=0 \\
-2x = -3 /: (-2) \\
x = \frac{3}{2}}\)
to jest a. pionowa

\(\displaystyle{ y=ax+b}\)
\(\displaystyle{ a= \lim_{ x\to \infty ^+} = \frac{f(x)}{x}}\)

\(\displaystyle{ b= \lim_{ x\to \infty ^+} = f(x) - ax}\)
\(\displaystyle{ a= \lim_{ x\to \infty ^+} = \frac{\frac{6x^2-3x}{-2x+3}}{x} = \frac{6x^2-3x}{-2x^2+3x} = \frac{x^2(6- \frac{3}{x}) }{x^2(-2+ \frac{3}{x}) } = \frac{-6}{2} =-3}\)
a. ukośna

\(\displaystyle{ b= \lim_{ x\to \infty ^+} = \frac{6x^2-3x}{-2x+3} + 3x = \frac{6x^2-3x-3x(-2x+3)}{-2x+3} = \frac{6x^2-3x-6x^2-9x}{-2x+3} = \frac{-12x}{-2x=3}= \frac{x(-12)}{x(-2+ \frac{3}{x} } = \frac{-12}{-2} = 6}\)

[pyzol]

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 1^+ } \quad -x+7 = -1+7 = \infty ^+}\)

\(\displaystyle{ -1+7=\infty}\)
No to ładnie. A jeśli chodzi o wyciągnąć przed nawias to miałem na myśli zamienić licznik na coś takiego:
\(\displaystyle{ x^2+3x-4=(x-1)(x+4)}\)
Jeśli chodzi o zad. 3, to sprowadza się do rozwiązania nierówności:
\(\displaystyle{ -3x^2+10x+8>0}\)
Źle podstawiłeś do wzoru na \(\displaystyle{ x_1,x_2}\).

[franklin]

ZAD 1
\(\displaystyle{ f(x) = \begin{cases} \frac{x^2+3x-4}{x-1} \quad x<1 \\ -x +7 \quad x \ge 1 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 1^- } \quad \frac{x^2+3x-4}{x-1} = \frac{(x-1)(x+4}{x-1} = x+4=5}\)
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 1^+ } \quad \frac{x^2+3x-4}{x-1} = \frac{(x-1)(x+4}{x-1} = x+4=5[}\)
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 1^+ } \quad -x+7 = -1+7 = \infty}\)
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 1^- } \quad -x+7 = -1+7 = \infty}\)

I to jest cale pierwsze zadanie?

ZAD 3
\(\displaystyle{ -3x^2+10x+8>0}\)
\(\displaystyle{ x_{1}= \frac{-10-2}{-6}= 2}\)
\(\displaystyle{ x_{2}= \frac{-10+2}{-6}= - \frac{4}{3}}\)
wypisuje mini i max funkcji
min funkcji = - \frac{4}{3}
max funkcji = 2
f'(x) jest rosnaca w przedziałach \(\displaystyle{ (- \infty ,- \frac{4}{3}) \cup (2, \infty )}\)
f'(x) jest malejaca w przedziałach \(\displaystyle{ (- \frac{4}{3}, 2)}\)

Czesc od liczenia pochodnej z pochodnej i dalej jest poprawna?

ZAD 2

\(\displaystyle{ f(x)= \frac{6x^2-3x}{-2x+3}}\)
\(\displaystyle{ Df = -2x+3=0 \\ -2x = -3 /: (-2) \\x = \frac{3}{2}}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty } = \frac{3}{2} = \infty}\)

ukośna (+) poprawnie wiec nie kopiowałem, a przy ukośnej minus oprocz znaku cos sie zmieni?

\(\displaystyle{ a= \lim_{ x\to \infty ^-} = \frac{\frac{6x^2-3x}{-2x+3}}{x} = \frac{6x^2-3x}{-2x^2+3x} = \frac{x^2(6- \frac{3}{x}) }{x^2(-2+ \frac{3}{x}) } = \frac{-6}{2} =-3}\)

\(\displaystyle{ b= \lim_{ x\to \infty ^+} = \frac{6x^2-3x}{-2x+3} + 3x = \frac{6x^2-3x+3x(-2x+3)}{-2x+3} = \frac{6x^2+3x-6x^2+9x}{-2x+3} = \frac{12x}{-2x=3}= \frac{x(12)}{x(-2+ \frac{3}{x} } = \frac{12}{-2} = -6}\)

ZAD 4
\(\displaystyle{ y=x \quad y=x^2-2}\)

wiem ze trzeba przyrowanc
\(\displaystyle{ x=x^2-2}\)

[pyzol]

\(\displaystyle{ -1+7=6}\)
Funkcja nie jest ciągła, bo lewostronna granica nie jest równa jej wartości.
3. O ile masz dobrze policzone, to funkcja jest rosnąca na przedziale \(\displaystyle{ (- \frac{4}{3}, 2)}\)
Natomiast malejąca na przedziałach: \(\displaystyle{ (- \infty ,- \frac{4}{3}) , (2, \infty )}\)
Jeśli chodzi o wypukłość, to masz rozwiązać nierówność:
\(\displaystyle{ f''(x) \ge 0}\), rozwiąż ją poprawnie...
2.
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 3/2+}=-\infty}\)
ukośne raczej będą poprawnie zrobione...
4. Po rozwiązaniu liczysz całkę:
\(\displaystyle{ \int_{x_1}^{x_2} x-(x^2-2)dx,x_1<x_2}\)

[franklin]

ZAD 4
\(\displaystyle{ y=x \quad y=x^2-2}\)
\(\displaystyle{ x=x^2-2\\
x^2-x-2=0\\
x _{1} =-1\\
x _{2}=2}\)

\(\displaystyle{ \int_{-1}^{2} x-(x^2-2)dx, \quad -1<2}\)

\(\displaystyle{ \int_{-1}^{2} x- \frac{x^3}{4} -2 dx}\)

\(\displaystyle{ \int_{-1}^{2} x^3-2 \quad \int_{-1}^{2} x-4}\)

tak to ma byc rozwiazywane?

[pyzol]

O całkach, to widzę, że w ogóle nie masz pojęcia...
Poszukaj wzorów:
\(\displaystyle{ \int f(x)+g(x)dx=...\\
\int x^n dx=...}\)

[franklin]

\(\displaystyle{ \int_{2}^{-1} x- \frac{x^3}{3} -x}\)

teraz jest poprawnie?

bralem stąd:

[pyzol]

\(\displaystyle{ \int_{-1}^{2} x-x^2+2dx=\left. \frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}+2x \right|_{-1}^2}\)

[franklin]

Patrzylem i szukałem i chyba wiem co dalej...
\(\displaystyle{ \int_{-1}^{2} x-x^2+2dx=\left. \frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}+2x \right|_{-1}^2}\)
\(\displaystyle{ 2 - \frac{8}{3} +4 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} -2 \\
4 \frac{2}{3} - \frac{5}{6} -2 = \\
\frac{24}{6} - \frac{5}{6} - \frac{12}{6} = \frac{7}{6}}\)

[R1990]

Gdzie takie przykłady dają na egzamin?

[franklin]

To jest ostatnia proba dla "zasłuzonych" inaczej glupich - w tym ja. Na pierwszym termini byly trudniejsze.
W Katowicach