Zbieżność punktowa - metoda przekątniowa.

[choko]

Mam problem tym że jeżeli mamy jakiś ciąg pkt. ograniczony (czyli \(\displaystyle{ \left| f_n(x)\right| < F(x)}\)

To zachodzi następujące twierdzenie które można wykazać metodą przekątniowa:

Jeżeli ciąg \(\displaystyle{ \left\{ f_n\right\} }}\) jest punktowo ograniczony na zbiorze \(\displaystyle{ E}\), a \(\displaystyle{ E_1}\) jest przeliczalnym podzbiorem zbioru \(\displaystyle{ E}\), to zawsze można wybrać podciąg \(\displaystyle{ \left\{ f_n_k\right\}}\) taki że ciąg \(\displaystyle{ \left\{f_n_k (x)\right\}}\) będzie punktowo zbieżny dla każdego \(\displaystyle{ x \in E_1}\)

[szw1710]

Pierwsze tw. Helly'ego, Łojasiewicz, Wstęp do teorii funkcji rzeczywistych, str. 20. Jest tam założenie monotoniczności.

[choko]

Nie to musi być coś prostszego, da się to zrobić podobno działając na ograniczoności punktowej i zbieżność punktowej.
Zawiera się to w temacie funkcji jednakowo ciągłych.

[szw1710]

Czy wobec tego wymieniłeś wszystkie założenia? Sformułuj porządnie twierdzenie, o które pytasz.

[choko]

Już poprawiam rzeczywiście trochę zaplątałem w treści...

[Wasilewski]

I jakie jest Twoje pytanie? Chcesz się dowiedzieć, jaki jest dowód tego faktu, czy też znasz go, ale nie jest dla Ciebie jasny?

[choko]

Chcę go poznać. Proszę o szybką odpowiedź bo jutro egzamin.

[Wasilewski]

No to opiszmy jakoś ten przeliczalny zbiór \(\displaystyle{ E_{1}=\{x_{1},x_{2},\ldots\}}\). Najpierw z ciągu \(\displaystyle{ f_{n}(x_{1})}\) wyciągamy zbieżny podciąg (możemy, bo jest ograniczony) \(\displaystyle{ f_{n1}(x_{1})}\); otrzymaliśmy ciąg \(\displaystyle{ f_{n1}}\). Teraz ten sam manewr wykonujemy dla ciągu \(\displaystyle{ f_{n1}(x_{2})}\), dostając w rezultacie ciąg \(\displaystyle{ f_{n2}}\). Następnie odgrzewamy dowcip, uzyskując taką tablicę:
\(\displaystyle{ f_{11}, f_{21}, \ \ldots \\
f_{21}, f_{22}, \ \ldots \\
\vdots \quad \quad \vdots}\)
Ciąg z pierwszego wiersza zbiega w punkcie \(\displaystyle{ x_{1}}\), ten z drugiego jest zbieżny w punktach \(\displaystyle{ x_{1},x_{2}}\) i każdy kolejny w coraz większej liczbie punktów. Zadaniem dla Ciebie jest sprawdzić, że ciąg \(\displaystyle{ f_{nn}}\) zbiega we wszystkich punktach zbioru \(\displaystyle{ E_{1}}\).

[choko]

\(\displaystyle{ f_{11}, f_{21}, \ \ldots \\
f_{21}, f_{22}, \ \ldots \\
\vdots \quad \quad \vdots}\)
Ciąg z pierwszego wiersza zbiega w punkcie \(\displaystyle{ x_{1}}\), ten z drugiego jest zbieżny w punktach \(\displaystyle{ x_{1},x_{2}}\) i każdy kolejny w coraz większej liczbie punktów. Zadaniem dla Ciebie jest sprawdzić, że ciąg \(\displaystyle{ f_{nn}}\) zbiega we wszystkich punktach zbioru \(\displaystyle{ E_{1}}\).

Włąśnie nie moge zrozumieć dlaczego ciąg z pierwszego wiersza jest zbieżny w pkt. \(\displaystyle{ x_1}\), z drugiego w \(\displaystyle{ x_1}\) ,\(\displaystyle{ x_2}\).

Wydawało mi się również że brało się ciąg po przekątnej :
\(\displaystyle{ f_{11}, f_{22},\ \ldots f_{nn}}\)

[Wasilewski]

Przecież tak wybraliśmy ciąg z pierwszego wiersza, żeby był zbieżny w \(\displaystyle{ x_{1}}\). Ciąg z drugiego wiersza jest podciągiem pierwszego, zatem automatycznie zbiega w punkcie \(\displaystyle{ x_{1}}\), ponadto wybieramy go tak, żeby zbiegał również w \(\displaystyle{ x_{2}}\). Na końcu wybieramy ciąg na przekątnej; tak, jak napisałem.