[Planimetria] Stosunek pól trójkatów

[justynian]

Zadanko pochodzi z delty:
Boki trójkąta dzielimy na trzy równe części, a następnie łączymy odcinkami każdy z wierzchołków z pierwszym punktem podziału na przeciwległym boku. W rezultacie odcinki utworzą trójkąt, którego pole jest równe 1/7 pola wyjściowego trójkąta.

[tometomek91]

Ukryta treść:    

Niech E bedzie punktem na AB takim, że \(\displaystyle{ \frac{AE}{EB}=\frac{1}{2}}\). Podobnie definiujemy F na BC i D na AC. Niech K punkt przecięcia BD i CE, M punkt przecięcia AF i BD i L punkt przecięcia AF i CE. Z Menelaosa w trójkącie AEC i prostej BD, mamy, że \(\displaystyle{ \frac{CK}{KE}=\frac{3}{4}}\), analogicznie \(\displaystyle{ \frac{AL}{LF}=\frac{3}{4}}\) i \(\displaystyle{ \frac{BM}{MD}=\frac{3}{4}}\). Jest też \(\displaystyle{ \frac{[EKB]}{[BCE]}=\frac{4}{7}}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{[BCE]}{[ABC]}=\frac{2}{3}}\) czyli \(\displaystyle{ \frac{[EKB]}{[ABC]}=\frac{8}{21}}\).
Zachodzi \(\displaystyle{ [AEC]=[ABF]=[CDB]=\frac{1}{3}[ABC]}\) (*).
Z jednej strony mamy \(\displaystyle{ [KLM]=\left( [ABC]-[DCB]-[BFA]-[AEC] \right) +[DKC]+[MFB]+[AEL]}\)
i z (*) otrzymujemy \(\displaystyle{ [KLM]=[DKC]+[MFB]+[AEL]}\)
Z drugiej strony
\(\displaystyle{ 3[KLM]=[EBK]+[CFL]+[AMD]-[AEC]-[CDB]-[ABF]+2 \left([DKC]+[MFB]+[AEL] \right)=[EBK]+[CFL]+[AMD]-[AEC]-[CDB]-[ABF]+2[KLM]}\)
czyli
\(\displaystyle{ [KLM]=[EBK]+[CFL]+[AMD]-[ABC]=\frac{8}{21}[ABC]+\frac{8}{21}[ABC]+\frac{8}{21}[ABC]-[ABC]=\frac{1}{7}[ABC]}\)

[MateuszL]

Jest to szczególny przypadek wzoru Routha, który mówi jaką część pola stanowi trójkąt powstały w sposób analogiczny, jednak przy dowolnym stosunku podzielonych części boków, wzór ten jest dość skomplikowany i brzydki, ale jakże ciekawy.

[Swistak]

Pisałem to już tutaj: ... 6&t=398237 , co by się miało zmarnować ; p.

[MateuszL]

Skoro Świstak podbił temat, a nie widzę w internecie tego wzoru, o którym pisałem, to przepiszę, może ktoś nie zna.

Niech dane będą trzy czewiany \(\displaystyle{ l_{AK}}\), \(\displaystyle{ l_{BL}}\) i \(\displaystyle{ l_{CM}}\) pewnego trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\). Ponadto niech \(\displaystyle{ \alpha = \left[ BKC \right]}\) , \(\displaystyle{ \beta = \left[ CLA \right]}\) i \(\displaystyle{ \gamma = \left[ AMB \right]}\). Pole trójkąta wyznaczonego przez te czewiany określony jest wtedy wzorem:
\(\displaystyle{ \frac{(\alpha \beta \gamma - 1)^{2}}{(1 + \alpha + \alpha \beta)(1 + \beta + \beta \gamma)(1 + \gamma + \gamma \alpha)} \cdot S_{ABC}}\)
Jest to wspomniany wzór Routha, po napisaniu zmieniam zdanie, jest on śliczny.

EDIT:
Zapis \(\displaystyle{ \alpha = \left[ BKC \right]}\) oznacza oczywiście \(\displaystyle{ \alpha = \frac{BK}{KC}}\)

[tometomek91]

Jest tutaj