łukowa spójność

[Marien]

Mam problem z następującym zadaniem: Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ (X,d)}\), \(\displaystyle{ (Y,d')}\) przestrzenie metryczne, \(\displaystyle{ (X,d)}\) łukowo spójna oraz \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) jest ciągłą surjekcją, to \(\displaystyle{ (Y,d')}\) też jest łukowo spójna.

[Spektralny]

Weźmy dwa punkty \(\displaystyle{ a,b\in Y}\). Oczywiście, \(\displaystyle{ a=f(x), b=f(y)}\) dla pewnych \(\displaystyle{ x,y\in X}\). Niech \(\displaystyle{ \ell}\) będzie łukiem łączącym punkty \(\displaystyle{ x,y}\). Zbiór \(\displaystyle{ \ell}\) jest zwarty i spójny. Obraz ciągłu zbioru zwartego jest zwarty, obraz ciągły zbioru spójnego jest spójny (własność Darboux), skąd \(\displaystyle{ f[\ell]}\) jest łukiem łączącym \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\).