Łączny rozkład zmiennych

[900217]

Zmienne (X,Y) mają łączny rozkład zadany przez \(\displaystyle{ P(X>x,Y>y)=exp(-x-y-max(x,y))}\) dla \(\displaystyle{ x \ge 0}\), \(\displaystyle{ y \ge 0}\). Policz \(\displaystyle{ P(1<X \le 4, 1<Y \le 2)}\)

Nie za bardzo wiem jak się za to zabrać... Wydaje mi się, że trzeba użyć dystrybuanty, ale nie wiem co z tym max...
Bardzo proszę o pomoc

[Yaco_89]

można policzyć z dystrybuanty gęstość (jako drugą pochodną mieszaną) i scałkować z powrotem po prostokącie \(\displaystyle{ [1,4]\times[1,2]}\), pewnie jakoś szybciej też się da rozwiązać ale to pierwszy sposób jaki przyszedł mi do głowy.

[Lider Artur]

Można też skorzystać z dystrybuanty 2-wymiarowej, ale będą potrzebne gęstości brzegowe.

[900217]

Rozrysowuję sobie tan prostokąt, zaznaczam prostą \(\displaystyle{ x=y}\) i nad tą prostą mam funkcję (dystrybuantę)\(\displaystyle{ 1-exp(-x-2y)}\) (bo tam \(\displaystyle{ max(x,y)}\) jest równe \(\displaystyle{ y}\) ) a pod prostą mam funkcję \(\displaystyle{ 1-exp(-2x-y)}\) później je różniczkuję, i liczę całkę podwójną po odpowiednim obszarze z odpowiednich gęstości

\(\displaystyle{ \int_{1}^{2} \int_{x}^{2} -2\cdot exp \left( -x-2y \right) \mbox{d}y \mbox{d}x + \int_{1}^{2} \int_{y}^{4} -2\cdot exp \left( -2x-y \right) \mbox{d}x \mbox{d}y=...= \left( e-1 \right) \left( \frac{1}{e} ^{3} +\frac{1}{e}^{7} \right)}\)

Czy tak jest poprawnie?

[pyzol]

Nie lepiej narysować i skorzystać, ze wzoru włączeń i wyłączeń? Ja to widzę tak:
\(\displaystyle{ P(1<X \le 4, 1<Y \le 2)=\\
=P(X>1,Y>1)-P(X>1,Y>2)-P(X>4,Y>1)+P(X>4,Y>2)}\)

[900217]

Jest też taki wzór (w moich notatkach), ale zamiast prawdopodobieństw są tam dystrybuanty liczone w odpowiednich punktach.
\(\displaystyle{ P ^{X,Y} ((a,b] \times (c,d])=F _{X,Y}(b,d)+F_{X,Y}(a,c)-F_{X,Y}(a,d)-F_{X,Y}(c,b)}\)


Nie rozumiem, czemu u Ciebie jest inaczej...

[pyzol]

Jak inaczej? W końcu dystrybuanty nie mamy. Narysuj sobie te zbiory w układzie współrzędnych to naprawdę widać... Zobacz jak to jest z dystrybuantą, a jak z tym co napisałem. Dużej różnicy nie ma...