Dowód podzielności

[kenser]

Hej!

Proszę o pomoc w zadaniu i jego wyjaśnienie:

Mam udowodnić (korzystając z zasady indukcji matematycznej), że \(\displaystyle{ 6^{n+2} + 7^{2n+1}}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 43}\) dla \(\displaystyle{ n \ge 0}\).


Z góry dzięki

[szw1710]

To prosta rzecz. Spróbuj jakoś zamieszać z wykładnikami w dowodzie tezy indukcyjnej tak, aby wyodrębnić 43.

[kenser]

\(\displaystyle{ 6^{n+2} + 7^{2n+1} = 43x}\), gdzie \(\displaystyle{ x \in N_+}\)

Sprawdzam dla \(\displaystyle{ n=0}\):
\(\displaystyle{ L = 6^2 + 7 = 36 + 7 = 43}\)
\(\displaystyle{ P = 43 \cdot 1 = 43}\)
\(\displaystyle{ L = P}\)

Założenie ind. \(\displaystyle{ n=k}\):
\(\displaystyle{ 6^{k+2} + 7^{2k+1} = 43x}\)

Teza ind. \(\displaystyle{ n = k+1}\):
\(\displaystyle{ 6^{k+3} + 7^{2k+3} = 43x}\)

Dowód
\(\displaystyle{ L = 6^{k+3} + 7^{2k+3} =}\)

Tak może być? Proszę o pomoc w dokończeniu zadania...

[piasek101]

I z założenia (wstaw do ostatniego) \(\displaystyle{ 6^{k+2}=43x-7^{2k+1}}\)

[ares41]

Chyba prościej skorzystać z tego:
\(\displaystyle{ 6^{k+3} + 7^{2k+3}=6(6^{k+2} + 7^{2k+1})+43 \cdot 7^{2k+1}}\)