całka nieoznaczona podpowiedz

[werka9191]

1)\(\displaystyle{ \int e^{x} x^{2} \sin x dx}\)
2)\(\displaystyle{ \int x \cos ^ {2}x}\)
z gory bardzo dziekuje za jaka kolwiek podpowiedz bo nie wychodza mi te całki

[Funktor]

A jak się do nich zabierałaś ? każdą z nich można wyznaczyć metodą całkowania przez części. Drugi przypadek jest prostszy, w pierwszym jak rozpiszesz to sobie standardowo będziesz musiała po drodze policzyć jeszcze raz przez części inną całkę. Np w drugiej całce przyjmij :

\(\displaystyle{ f=x^2 f^{'}=2x , g^{'}= \sin ( x) , g=- \cos ( x)}\)

-- 2 lip 2011, o 17:56 --

Jak zaczniesz to liczyć to pojawi ci się tam całka \(\displaystyle{ x \cos ( x)}\) to ją sobie oddzielnie przez cześci policz a potem wstaw do tego co liczyłaś wcześniej

-- 2 lip 2011, o 17:58 --

W pierwszej podobnie ale więcej liczenia bo inna całka będzie

[werka9191]

dzieki za ta druga juz poradze sobie z nia ... a co do 1 to podstawilam\(\displaystyle{ f(x)= x^{2}e^{x}}\) to \(\displaystyle{ f'(x)}\) bedzie \(\displaystyle{ 2x e^{x} +x^{2} e^{x}}\) dobrze mysle? bo mecze sie z ta calka i jeszcze jej nie rozwiazalam

[Funktor]

W zasadzie można dowolnie podstawiać , jak chcesz to mogę to rozwiązać. Można tak jak chcesz a może za f wstawić exp

[werka9191]

byla bym bardzo wdzieczna za rozwiazanie

[Funktor]

to to zajmie trochę czasu, zanim to wpiszę, może być to na wieczór ? ( około 21:00 )

[werka9191]

no jasne . z gory dziekuje

[mkacz]

Całka nr 2.

\(\displaystyle{ \int x \cos ^ {2}x dx}\) proponuję rozwiązać korzystając ze wzoru \(\displaystyle{ \cos 2x = \cos ^ {2}x - \sin ^ {2}x = 2\cos ^ {2}x -1}\) Poprzez wyznaczenie z tego wzoru \(\displaystyle{ \cos ^ {2}x}\), wstawieniu do całki i rozwiązania następującej, równoważnej

\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \int (x \cos 2x+x)dx}\). Pierwszą z cosinusem - przez części biorąc za \(\displaystyle{ u=x, v'=\cos2x}\), a drugą z gotowego wzoru.

[Funktor]

Ok rozwiązałem , teraz to trzeba tylko zebrać do kupy ale to zostawiam tobie , mam nadzieje że jest to najszybszy sposób i że się nie zakręciłem w kółko z 2 razy.

\(\displaystyle{ \int x^2 \exp(x) \sin(x) \mbox{d}x}\) do całkowania biorę \(\displaystyle{ f=\exp(x) \sin(x)\ f^{\prime}=\exp(x) (\sin(x)+\cos(x)) \ g^{\prime}=\sin(x) g=-\cos(x)}\)
z tego mamy \(\displaystyle{ = -x^2- 2\int x \exp(x) \sin(x)\mbox dx - \int \cos(x)x^2 \exp(x) \mbox{d}x}\)

no i tutaj zaczyna się zabawa...

\(\displaystyle{ \int x \exp(x)\sin(x) \mbox{d}x =\ldots f= x e^x \ f^{\prime}=\exp(x) (x+1) \ g^{\prime}=\sin(x) \g= -\cos(x)\ldots=-x\cos(x) e^x - \int e^x\cos(x) \mbox{d}x - \int x\exp(x)\cos(x) \mbox{d}x}\)

No to liczymy co trzeba

\(\displaystyle{ \int e^x \cos(x) \mbox{d}x = e^x \sin(x)- \int e^x \sin(x) \mbox{d}x = e^x \sin(x) +e^x \cos(x) - \int e^x \cos(x)\mbox dx= \frac{1}{2}e^x ( \sin(x) + \cos(x)}\)

do rozwiązania użyłem całki :

\(\displaystyle{ \int e^x \sin(x) \mbox{d}x = - e^x\cos(x) + \int e^x \cos(x) \mbox{d}x}\)


jak mamy już krowę to możemy ją doić :

\(\displaystyle{ \int xe^x \cos(x) \mbox{d}x = \ldots f=x \f^{\prime}=1 g^{\prime}= e^x \cos(x) \ g= \frac{1}{2}e^x (\cos(x) +\sin(x) )\ldots = \frac{1}{2}x e^x ( \cos(x) +\sin(x)) - \frac{1}{2}\int e^x(\sin(x)+\cos(x)) \mbox{d}x = \frac{1}{2}x e^x (\sin(x) +\cos(x)) - \frac{1}{4}e^x (\sin(x)+\cos(x)) - \frac{1}{2}e^x \cos(x) + \frac{1}{2}e^x (\sin(x)+\cos(x))=\ldots= \frac{1}{2}e^x(\cos(x)+\sin(x))(x-1) - \frac{1}{2}e^x \cos(x))}\)

Ale i tak najlepsze będzie spijanie śmietanki ;]

\(\displaystyle{ \int e^x x^2 \cos(x) \mbox{d}x =\ldots f=x^2e^x \ f^{\prime} = 2xe^x +e^x x^2 g^{\prime} = \cos(x)\ g= \sin(x)...= x^2e^x \sin(x) - \int( 2xe^x\sin(x) +x^2e^x \sin(x)) \mbox{d}x}\)


Teraz jak wstawimy to na początek to rozwiążemy równanie na szukaną całkę, uwzględniająć jednocześnie potrzebną całkę z \(\displaystyle{ x\sin(x) e^x}\). Mam nadzieje ze nigdzie się nie pomyli kem w stałych przed całkami, ale to mozesz łatwo sprawdzić, jeszcze to sam spokojnie przejrzę : )

[werka9191]

oo kurde pewnie bym nie wpadla na to. dziekuje slicznie ;*

[Funktor]

Jeszcze jakieś problemy z całkami ? ;]

[werka9191]

wlasnie wstawilam niewlasciwa bo nie wiem co z nia zrobic

[Funktor]

Ok to cieszę się że pomogłem i czekam na następne

[werka9191]

\(\displaystyle{ \int e^{ \sqrt{x} } \mbox{d}x}\)
wiem ze przez podstawienie ale jak podstawie \(\displaystyle{ \sqrt{x}}\) to wychodzi \(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{x} }dx=2dt}\) i co dalej? jak to urzyc?

[Funktor]

\(\displaystyle{ \sqrt x =t \ x=t^2 \ dx=2tdt}\) i przez części jedziesz ;]