Granica ciągu
-
- Użytkownik
- Posty: 33
- Rejestracja: 22 paź 2010, o 21:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1 raz
Granica ciągu
Ja miałem dzisiaj takie urocze zadanko na egzaminie (poprawka się szykuje xD), proszę o jakieś rady:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{2\cdot3^{n}+2^{n}\cdot\cos^{2}(n)}}\)
Wiem, że \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{2\cdot3^{n}} = 3\cdot\sqrt[n]{2} = 3}\) ponieważ \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{2} = 1}\) ale nie mam pojęcia co zrobić z tym iloczynem z cosinusem.
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{2\cdot3^{n}+2^{n}\cdot\cos^{2}(n)}}\)
Wiem, że \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{2\cdot3^{n}} = 3\cdot\sqrt[n]{2} = 3}\) ponieważ \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{2} = 1}\) ale nie mam pojęcia co zrobić z tym iloczynem z cosinusem.
-
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Granica ciągu
\(\displaystyle{ \sqrt[n]{3^{n}} \le \sqrt[n]{2\cdot3^{n}+2^{n}\cdot\cos^{2}{n}}\le \sqrt[n]{2\cdot3^{n}+3^{n}\cdot 1}=\sqrt[n]{3\cdot3^{n}}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 33
- Rejestracja: 22 paź 2010, o 21:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1 raz
Granica ciągu
No tak, w związku z tym że \(\displaystyle{ \cos^{2}(n) \in [0,1]}\) faktycznie sprawa się upraszcza... Dzięki za pomoc. Skąd wziąć takie zadanka żeby się w tym trochę wyrobić przed poprawką?
Ostatnio zmieniony 2 lip 2011, o 19:55 przez Chromosom, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: symbol cosinusa to \cos, symbol przedziału domkniętego to [, ]
Powód: symbol cosinusa to \cos, symbol przedziału domkniętego to [, ]
-
- Moderator
- Posty: 10365
- Rejestracja: 12 kwie 2008, o 21:08
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 127 razy
- Pomógł: 1271 razy
Granica ciągu
sporo przykładów znajdziesz na tym forum. Możesz też posłużyć się podręcznikami, z których korzystacie na studiach, i zamieścić zadanie z którym będziesz miał problem.Mikz pisze:Skąd wziąć takie zadanka żeby się w tym trochę wyrobić przed poprawką?
-
- Użytkownik
- Posty: 33
- Rejestracja: 22 paź 2010, o 21:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1 raz
Granica ciągu
Napisałeś jeszcze że można wyłączyć \(\displaystyle{ 3^{n}}\) przed pierwiastek. Jak to zrobić skoro w jednym iloczynie jest \(\displaystyle{ 2^{n}}\) a w drugim \(\displaystyle{ 3^{n}}\)? Wiadomo po wyłączeniu tej części iloczynów ciąg dążyłby po prostu do trójki bo pierwiastek by się zerował z tym, że na pierwszy rzut oka wydaje mi się to niemożliwe.
- miki999
- Użytkownik
- Posty: 8691
- Rejestracja: 28 lis 2007, o 18:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 36 razy
- Pomógł: 1001 razy
Granica ciągu
Drugi element pod pierwiastkiem dążyłby do \(\displaystyle{ 0}\), natomiast pierwszy do \(\displaystyle{ 2}\). Pierwiastek stopnia \(\displaystyle{ n}\) ze stałej w granicy wynosi \(\displaystyle{ 1}\), więc masz wynik \(\displaystyle{ 3 \cdot 1}\).
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10225
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Granica ciągu
No ale tu nie mamy pierwiastek \(\displaystyle{ n-}\)tego stopnia ze stałej: \(\displaystyle{ \sqrt[n]{a},}\) tylko \(\displaystyle{ \sqrt[n]{a_n},}\) gdzie \(\displaystyle{ a_n \to 2.}\) Dlatego do granicy
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{2 + \left( \frac{2}{3} \right)^n \cos^2 n }}\)
należałoby albo i tak zastosować twierdzenie o trzech ciągach, albo zrobić tak:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{2+ \left( \frac{2}{3} \right)^n \cos^2 n} = \left[ 2^0 \right] = 1,}\)
co wymagałoby znajomości twierdzenia, że gdy \(\displaystyle{ a_n \to a, \ b_n \to b,}\) to \(\displaystyle{ a_n^{b_n} \to a^b.}\)
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{2 + \left( \frac{2}{3} \right)^n \cos^2 n }}\)
należałoby albo i tak zastosować twierdzenie o trzech ciągach, albo zrobić tak:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{2+ \left( \frac{2}{3} \right)^n \cos^2 n} = \left[ 2^0 \right] = 1,}\)
co wymagałoby znajomości twierdzenia, że gdy \(\displaystyle{ a_n \to a, \ b_n \to b,}\) to \(\displaystyle{ a_n^{b_n} \to a^b.}\)