U Krysickiego, jak i w przykładach do tej grupy tematycznej forum przyjmujemy, że \(\displaystyle{ \lim_{ n \to \infty } \sqrt[n]{n} = 1}\)
Czy mogę poprosić o jakiś dowód, bo wydaje mi się, że to nie spadło z nieba, ani nie jest to aksjomat, a sam nie do końca widzę jak to okazać.
Z góry dziękuję,
pozdrawiam.
granica ciągu
- Lorek
- Użytkownik
- Posty: 7150
- Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ruda Śląska
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 1322 razy
granica ciągu
"granica ciągu - zadanie 666" - nice ;]
256594.htm#p967707
a i post wyżej to nawet więcej jest dowodów.
256594.htm#p967707
a i post wyżej to nawet więcej jest dowodów.
Ostatnio zmieniony 2 lip 2011, o 15:45 przez Lorek, łącznie zmieniany 1 raz.
- Spektralny
- Użytkownik
- Posty: 3976
- Rejestracja: 17 cze 2011, o 21:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Praga, Katowice, Kraków
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 929 razy
granica ciągu
Można subtelniej, ja strzelę z armaty:
\(\displaystyle{ n^{\frac{1}{n}}=e^{\frac{1}{n}\ln n}}\)
Myśląc o funkcji
\(\displaystyle{ f(x)=e^{\frac{1}{x}\ln x}}\)
jako o funkcji rzeczywistej i stosując regułę d'Hospitala do wykłdnika (możemy to zrobić, bo funkcja wykładnicza jest ciągła), mamy
\(\displaystyle{ \lim_{x\to \infty} f(x)=\lim_{x\to \infty}e^{\frac{1}{x}\ln x}=\lim_{x\to \infty}e^{\frac{\frac{1}{x}}{1}}=e^0=1}\).
\(\displaystyle{ n^{\frac{1}{n}}=e^{\frac{1}{n}\ln n}}\)
Myśląc o funkcji
\(\displaystyle{ f(x)=e^{\frac{1}{x}\ln x}}\)
jako o funkcji rzeczywistej i stosując regułę d'Hospitala do wykłdnika (możemy to zrobić, bo funkcja wykładnicza jest ciągła), mamy
\(\displaystyle{ \lim_{x\to \infty} f(x)=\lim_{x\to \infty}e^{\frac{1}{x}\ln x}=\lim_{x\to \infty}e^{\frac{\frac{1}{x}}{1}}=e^0=1}\).