Witam, mam pewien problem z obliczeniem takiej granicy:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} \frac{}{} sin3x/sinx}\)
Przy okazji chciałbym zapytać o jeszcze jedną kwestię. Kiedy obliczam granicę funkcji w minus nieskończoności (zakładając, że jest to funkcja wielomianowa wysokiego stopnia) wyciągam przed nawias najwyższą potęgę, czy to, że granicą jest +/- nieskończoność zależy od tego czy potęga jest parzysta/nieparzysta? Miałem to na wykładzie, ale nie załapałem... Przykład:
wyciągnę przed nawias \(\displaystyle{ x^9}\) czyli granicą będzie \(\displaystyle{ - \infty}\)?
Z góry dziękuję za pomoc
Granica z sinusem
-
- Użytkownik
- Posty: 1106
- Rejestracja: 1 lip 2010, o 15:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: toruń
- Pomógł: 153 razy
Granica z sinusem
\(\displaystyle{ \frac{\sin 3x}{\sin x}=3 \cdot \frac{\sin 3x}{3x \cdot \frac{\sin x}{x}}}\). a w przykładzie 2 tam masz jeszcze minus. pozdrawiam!
-
- Użytkownik
- Posty: 88
- Rejestracja: 27 paź 2010, o 19:13
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Mielec
- Podziękował: 5 razy
Granica z sinusem
A możesz jaśniej? Bo dalej nie łapię jaka ma być granica? Reguły de Hospitala niestety nie miałem...
- Funktor
- Użytkownik
- Posty: 482
- Rejestracja: 21 gru 2009, o 15:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 63 razy
Granica z sinusem
Wyrażenie które napisał kolega wyżej, powstaje w ten sposób ze starasz się sprowadzić poszukiwaną granicę do jakiejś kombinacji wyrażeń \(\displaystyle{ \frac{sin(y)}{y}}\) taka granica wychodzi 1 wiec masz rozwiązanie.-- 2 lip 2011, o 14:26 --czyli granica z zadani wychodzi 3
-
- Użytkownik
- Posty: 1456
- Rejestracja: 14 gru 2007, o 14:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 49 razy
- Pomógł: 198 razy
Granica z sinusem
W odpowiedzi na Twoje drugie pytanie: tak, totak działa. Przy czym ważny jest też znak współczynnika przy najwyższej potędze, co wychodzi na Twoim przykładzie, w którym granicę policzyłeś źle.
Po wyciągnięciu tej najwyższej potęgi przed nawias widać, z czym mamy do czynienia:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to - \infty }\left( -4x^9-3x^7-4\right)= \lim_{x \to - \infty } x^9\left( -4- \frac{3}{x^2} -\frac{4}{x^9} \right)=- \infty \left( -4-0-0\right)=+ \infty}\)
Generalnie jak się nie jest pewnym, każdą tego typu granicę można tak rozpisać i za pomocą prostej arytmetyki granic policzyć.
Po wyciągnięciu tej najwyższej potęgi przed nawias widać, z czym mamy do czynienia:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to - \infty }\left( -4x^9-3x^7-4\right)= \lim_{x \to - \infty } x^9\left( -4- \frac{3}{x^2} -\frac{4}{x^9} \right)=- \infty \left( -4-0-0\right)=+ \infty}\)
Generalnie jak się nie jest pewnym, każdą tego typu granicę można tak rozpisać i za pomocą prostej arytmetyki granic policzyć.