Granica z sinusem

strykul · Post autor: **strykul** » 2 lip 2011, o 13:22

Witam, mam pewien problem z obliczeniem takiej granicy:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} \frac{}{} sin3x/sinx}\)

Przy okazji chciałbym zapytać o jeszcze jedną kwestię. Kiedy obliczam granicę funkcji w minus nieskończoności (zakładając, że jest to funkcja wielomianowa wysokiego stopnia) wyciągam przed nawias najwyższą potęgę, czy to, że granicą jest +/- nieskończoność zależy od tego czy potęga jest parzysta/nieparzysta? Miałem to na wykładzie, ale nie załapałem... Przykład:

: obrazek-matematyka.png (777 Bajtów) Przejrzano 81 razy

wyciągnę przed nawias \(\displaystyle{ x^9}\) czyli granicą będzie \(\displaystyle{ - \infty}\)?

Z góry dziękuję za pomoc

mateuszek89 · Post autor: **mateuszek89** » 2 lip 2011, o 13:26

\(\displaystyle{ \frac{\sin 3x}{\sin x}=3 \cdot \frac{\sin 3x}{3x \cdot \frac{\sin x}{x}}}\). a w przykładzie 2 tam masz jeszcze minus. pozdrawiam!

Funktor · Post autor: **Funktor** » 2 lip 2011, o 13:28

miałeś coś takiego jak reguła de Hospitala ?-- 2 lip 2011, o 13:29 --o widzę kolega mnie uprzedził i zrobił to bardzie elementarnie

strykul · Post autor: **strykul** » 2 lip 2011, o 14:19

A możesz jaśniej? Bo dalej nie łapię jaka ma być granica? Reguły de Hospitala niestety nie miałem...

Funktor · Post autor: **Funktor** » 2 lip 2011, o 14:23

Wyrażenie które napisał kolega wyżej, powstaje w ten sposób ze starasz się sprowadzić poszukiwaną granicę do jakiejś kombinacji wyrażeń \(\displaystyle{ \frac{sin(y)}{y}}\) taka granica wychodzi 1 wiec masz rozwiązanie.-- 2 lip 2011, o 14:26 --czyli granica z zadani wychodzi 3

Majeskas · Post autor: **Majeskas** » 2 lip 2011, o 14:31

W odpowiedzi na Twoje drugie pytanie: tak, totak działa. Przy czym ważny jest też znak współczynnika przy najwyższej potędze, co wychodzi na Twoim przykładzie, w którym granicę policzyłeś źle.

Po wyciągnięciu tej najwyższej potęgi przed nawias widać, z czym mamy do czynienia:

\(\displaystyle{ \lim_{x \to - \infty }\left( -4x^9-3x^7-4\right)= \lim_{x \to - \infty } x^9\left( -4- \frac{3}{x^2} -\frac{4}{x^9} \right)=- \infty \left( -4-0-0\right)=+ \infty}\)

Generalnie jak się nie jest pewnym, każdą tego typu granicę można tak rozpisać i za pomocą prostej arytmetyki granic policzyć.

strykul · Post autor: **strykul** » 2 lip 2011, o 14:37

Dziękuję serdecznie za odpowiedzi