Funkcje hiperboliczne - czemu służą?

[Maciek.mat]

O funkcjach hiperbolicznych w internecie jest niewiele, nawet w artykule o nich na Wikipedii. Jest przedstawiona analogia funkcji trygonometrycznych, ale bez wnikliwszych wyjaśnień. Wie ktoś o nich więcej, poza tym, że wykres cosinusa hiperbolicznego jest krzywą łańcuchową i że jest również jedynka hiperboliczna? Może ktoś zna dowód tego, że łańcuszek znajdujący się w polu grawitacyjnym, przyczepiony dwoma końcami tworzy wykres cosinusa hiperbolicznego?

[Rogal]

To tak, z tego co ja o nich wiem, to są po prostu analogią funkcji trygonometrycznych w tym sensie, że tak jak okrąg parametryzuje się funkcjami trygonometrycznymi (bo powstają one niejako z rozwijania okręgu), tak hiperbolę się parametryzuje hiperbolicznymi.
Dalej idąc, dzięki funkcjom hiperbolicznym łatwo liczy się dużo całek z pierwiastkami z trójmianów kwadratowych.
Również bardzo przydają się w liczbach zespolonych, bo dzięki nim łatwo się wyraża algebraicznie sinus i cosinus argumentu zespolonego.
Dzięki z kolei tym związkom, wszystkie wzory (tożsamości) trygonometryczne mają swoje odpowiedniki hiperboliczne, co jeszcze ułatwia rachowanie na tych funkcjach.
Co do fizycznych kwestii, to wydawało mi się, że kiedyś tutaj coś podobnego widziałem, że taki łańcuszek właśnie przybiera kształt cosinusa hiperbolicznego, ale od razu ostrzegam, że kwestia dowodu jest kwestią rozwiązania odpowiedniego równania różniczkowego.

[Maciek.mat]

Analogia w funkcjach hiperbolicznych tyczy się hiperboli o równaniu \(\displaystyle{ \frac{a}{x}}\), \(\displaystyle{ \sqrt{ 1 + x^{2} }}\) czy \(\displaystyle{ \sqrt{ x^{2} - 1}}\). Funkcje trygonometryczne dotyczą okręgu o jednym równaniu, więc tu jakby nie miałem wątpliwości.

[Rogal]

Hiperbole również posiadają jedno równanie - źle byłoby, gdyby miały dwa.
\(\displaystyle{ \left( \frac{x}{a} \right)^{2} - \left( \frac{y}{b} \right)^{2} = 1}\)

[Maciek.mat]

Czyli odnoszą się do wszystkich trzech wzorów i odnoszą się jedynie do matematycznych teorii (czy jakoś tak), bez żadnych związków ze zjawiskami w przyrodzie. Jeszcze chciałbym się zapytać, co jest argumentem, a co wartością f.h.? Bo w logarytmach nie mamy kątów, a jedynie suchą liczbę, oczywiście nie wdając się w jakieś rozszerzenia definicji na inne, niż rzeczywiste, zbiory liczb, więc tu na osiach współrzędnych nie ma żadnych kątów i stosunków boków. Inaczej mówiąc, jak bym kreślił wykres cosh czy sinh, to co byłoby na osi X i Y? Czy to jest jakiś kąt i z niego powstały stosunek, tak jak przy funkcjach trygonometrycznych, czy coś innego?

[Rogal]

Nie nie. Jakie logarytmy?
Zgodnie z definicji masz: \(\displaystyle{ \cosh x = \frac{e^{x} + e^{-x}}{2}, \ \sinh x = \frac{e^{x} - e^{-x}}{2}}\)
Tamte wzory, które podałeś, to tak na oko szczególne przypadki tego równania ogólnego. Miłą rozrywką jest tego dowieść

[Maciek.mat]

A ja nawet nie pomyślałem, że f.h. mają związek z logarytmami. Tak tylko za przykład funkcji podałem, że pod logarytmem nie ma wartości kąta czy długości boku, tylko liczba bezwymiarowa. Myślałem sobie, że niepotrzebnie wprowadziłem logarytm w temat. Chodziło mi o to, że w logarytmach, pomijając to, że liczba Eulera tam występuje, nie ma żadnych kątów, które mogą być argumentem funkcji trygonometrycznych. Dlatego zastanowiłem się nad analogią występującymi w f.h., stąd moje pytanie, co jest w funkcjach hiperbolicznych argumentem, a co wartością? Przecież nie kąt, a ich wartość to nie stosunek np. boków, tylko coś innego. Ja właśnie się pytam, co jest argumentem i wartością funkcji hiperbolicznych?

[Rogal]

Cóż, w sensie matematyki po prostu liczby rzeczywiste (z dziedziny), tak samo jak dziedziną funkcji trygonometrycznych są liczby.
Oczywiście wiem o co pytasz - wpierw funkcje trygonometryczne definiowano jako funkcje kąta ostrego, czy później dowolnego.
W przypadku funkcji hiperbolicznych nie zastanawiałem się nad tym nigdy. Nie wiem, czy istnieje taka interpretacja, ale możesz spróbować porysować coś charakterystycznego dla hiperboli się zastanawiać, co jest argumentem w sensie geometrycznym.

[Maciek.mat]

Czyli na osi X nie możemy jednoznacznie ustalić, czy to będą jakieś kąty czy zwykła liczba, jak np. w logarytmach. Tak samo na osi Y nie jest powiedziane, że są na niej stosunki jakichś odcinków, w najlepszym przypadku boków jakiegoś trójkąta. Gdybym narysował jakąś hiperbolę w układzie współrzędnych, nie wiem, co byłoby odpowiednikiem środka trójkąta, od którego zaczynał się kąt, czyżby ognisko hiperboli?

[Rogal]

Hmm, teraz nagle ujrzałem w swojej głowie rysunek, na którym są znaczone jakieś odcinki charakterystyczne dla hiperboli i których stosunki są odpowiednie stałe (coś jak w trójkącie dla danego kąta), ale nie jestem w stanie wiele więcej powiedzieć.
Co rozumiesz przez środek trójkąta? W sensie, wierzchołek kąta prostego?
O, już mi się więcej przypomniało - da się przenieść analogiczną sytuację z tzw. koła trygonometrycznego, gdzie identyfikuje się funkcje trygonometryczne z pewnymi odcinkami. Coś analogicznego da się zrobić również dla hiperboli. Szukaj, na pewno to w necie widziałem.

[Maciek.mat]

Była na Wikipedii w "Funkcje trygonometryczne" wmianka o f.h. Jest tam zakreskowane pole z zaznaczonym kątem na rysunku z hiperbolą o równaniu \(\displaystyle{ \sqrt{x^{2} - 1}}\). Tylko jedna rzecz, że ten kąt mógł mieć co najwyżej \(\displaystyle{ 45^{o}}\), a przecież f.h. mają wartości dla większych argumentów. Nie wiem co tam przyjęli za co, ale na rysunku zdefiniowne jest dziwnie.

[Rogal]

Zgodzę się, że trochę jest to niejasno. Ale spróbuj zrobić rzecz dokładnie analogiczną jak dla koła i funkcji trygonometrycznych, nie patrz na to, co oni zrobili.
Mnie to nigdy nie wciągnęło, bo nie lubię geometrii i definicja algebraiczna satysfakcjonuje mnie zupełnie