rownanie różniczkowe

[aguś_000]

\(\displaystyle{ t(y+1)y'=y, y(e)=1}\)
po przeksztalceniach:
\(\displaystyle{ \int \frac {y+1}{y} dy= \int\frac{ 1}{t} dt}\)
i tu nie umiem

[BettyBoo]

\(\displaystyle{ \int \frac {y+1}{y} dy=\int (1+\frac {1}{y}) dy= y+\ln|y|= \ln|t|+c=\int\frac{ 1}{t} dt}\)

Podstawiasz \(\displaystyle{ y=1, t=e}\) i obliczasz stałą.

Pozdrawiam.

[aguś_000]

dzieki, a mam jeszcze takie cuś; \(\displaystyle{ y'+2yt=-2t^3}\)

[meninio]

To jest równanie różniczkowe liniowe pierwszego rzędu niejednorodne. Takie równania rozwiązuje sie wg określonego schematu:
1) równanie jednorodne
2) uzmiennianie stałej
Spróbuj sama, a jak nie wiesz to pytaj albo przeglądnij forum - tego typu przykładów jest bardzo dużo.

[aguś_000]

y dzieki juz to rozkminiłam;P

[gufox]

dzieki, a mam jeszcze takie cuś; \(\displaystyle{ y'+2yt=-2t^3}\)

\(\displaystyle{ \frac{dy}{dt} +2yt=-2t ^{3}}\)

\(\displaystyle{ \frac{dy}{dt}=-2yt}\)

\(\displaystyle{ \frac{dy}{y}=-2tdt}\)

\(\displaystyle{ \int \frac{dy}{y}=-2\int tdt}\)

\(\displaystyle{ ln|y|=lne ^{-t ^{2} }+C}\)

\(\displaystyle{ y=C(x)e ^{-t ^{2} }}\)

\(\displaystyle{ y'=C'(x)e ^{-t ^{2} } -2C(x)e ^{-t ^{2} }t}\)

Podstawiam

\(\displaystyle{ C'(x)e ^{-t ^{2} }-2C(x)e ^{-t ^{2} }t+2e ^{-t ^{2} }t=-2t ^{3}}\)

\(\displaystyle{ C'(x)= \frac{-2t ^{3} }{e ^{-t ^{2} }}}\)

\(\displaystyle{ C(x)=-\int \frac{2t ^{3} }{e ^{-t ^{2} }}=-e ^{t ^{2} }(t ^{2}-1)+C}\)

wracam do podstawienia i otrzymuje

\(\displaystyle{ y=-t ^{2}+1+Ce ^{-t ^{2} }}\)

mam nadzieje ze sie nigdzie nie pomylilem.

Pozdrawiam.