[MIX] Ulubione zadanie olimpijskie

[półpasiec]

Chyba nie trzeba nic tlumaczyc, jak macie jakies ciekawe zadanie, ktore wedlug Was bylo calkiem ksztalcace i milo sie Wam je rozwiazywalo to wrzucajcie

[ymar]

4. z ostatniej

[MichalM]

W trójkącie o kątach \(\displaystyle{ \alpha, \beta, \gamma}\) okrąg \(\displaystyle{ O_1}\) jest styczny do boków przy kącie \(\displaystyle{ \alpha}\), \(\displaystyle{ O_2}\) jest styczny do \(\displaystyle{ O_1}\) i boków przy kącie \(\displaystyle{ \beta}\), \(\displaystyle{ O_3}\) jest styczny do \(\displaystyle{ O_2}\) i boków przy kącie \(\displaystyle{ \gamma}\) itd...

Pokazać, że \(\displaystyle{ O_1 = O_7}\).

[g]

sentyment mam do nierownosci z ubieglorocznego drugiego etapu, ona mi dupsko uratowala i wszedlem dzieki niej do finalu (co popatrzywszy na statystyki nie jest jakims szczegolnym osiagnieciem).
\(\displaystyle{ a,b,c [0,1] \sum {a \over bc+1} q 2}\).

[_el_doopa]

mogliscie juz kiedys je widziec:


znalezc ciagle f:R->R ze:
\(\displaystyle{ f(x)+f(y)+f(z)+f(x+y+z)=f(x+y)+f(y+z)+f(z+x)+f(0)}\)

[Tomasz Rużycki]

Zadania, które przytoczę, nie są zbyt trudne, ale ... po prostu mi się podobają

1) \(\displaystyle{ \[x,y,z > 0\wedge xyz = x+y+z+2]\Longrightarrow [x^2+y^2+z^2\geq 12]}\),
2) Niech \(\displaystyle{ P(x)}\) będzie wielomianem o dodatnich współczynnikach. Pokazać, że jeśli \(\displaystyle{ P(1)\geq 1}\), to dla \(\displaystyle{ x>0}\) zachodzi \(\displaystyle{ P(x)\geq \frac{1}{P(1/x)}}\),
3) Pokazać, że istnieje nieskończenie wiele punktów na okręgu jednostkowym takich, że odległość pomiędzy dowolnymi dwoma jest wymierna.