oblicz całkę ozn.

[faraus]

\(\displaystyle{ \int_{-4}^{-2} \frac{1}{x \sqrt{x ^{2}+x+1 } }}\)

[miodzio1988]

Wystaw \(\displaystyle{ x}\) z tego pierwiastka i zrob podstawienie:
\(\displaystyle{ \frac{1}{x}=t}\)

[Mariusz M]

Wystaw \(\displaystyle{ x}\) z tego pierwiastka i zrob podstawienie:
\(\displaystyle{ \frac{1}{x}=t}\)

Jeżeli ktoś lubi podstawienia Eulera to
można skorzystać z pierwszego i drugiego podstawienia

Oto całka funkcja pierwotna którą uzyskałem stosując drugie podstawienie Eulera

\(\displaystyle{ \sqrt{x^2+x+1} =xt+1}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{x^2+x+1} =xt+1}\)

\(\displaystyle{ x^2+x+1=x^2t^2+2xt+1}\)

\(\displaystyle{ x^2+x=x^2t^2+2xt}\)

\(\displaystyle{ x+1=xt^2+2t}\)

\(\displaystyle{ 1-2t=xt^2-x}\)

\(\displaystyle{ -2t+1=x \left( t^2-1\right)}\)

\(\displaystyle{ x= \frac{- \left(2t-1\right) }{t^2-1}}\)

\(\displaystyle{ \mbox{d}x =- \frac{2 \left( \right) -2t \left(2t-1 \right) }{ \left( t^2-1\right) ^2}=- \frac{2t^2-2-4t^2+2t}{ \left( t^2-1\right) ^2} =- \frac{- \left( -2t^2+2t-2\right) }{ \left(t^2-1 \right)^2 }}\)

\(\displaystyle{ \mbox{d}x =2 \frac{t^2-t+1}{ \left( t^2-1\right) ^2}}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{x^2+x+1}= \frac{-t \left( 2t-1\right)+t^2-1 }{t^2-1}= \frac{-2t^2+t+t^2-1}{t^2-1}= \frac{-t^2+t-1}{t^2-1}}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{x^2+x+1}=- \frac{t^2-t+1}{t^2-1}}\)

\(\displaystyle{ 2 \int{ \frac{ \left( t^2-t+1\right) }{ \left( t^2-1\right)^2 } \frac{t^2-1}{- \left( 2t-1\right) } \frac{t^2-1}{- \left( t^2-t+1\right) } } \mbox{d}t}\)

\(\displaystyle{ \int{ \frac{2 \mbox{d}t }{2t-1} } =\ln \left( 2t-1\right)}\)

\(\displaystyle{ \ln \left( \frac{ 2\sqrt{x^2+x+1}-x-2 }{x} \right)}\)