Objetośc bryły ograniczonej powierzchniami

[kubapod]

Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami:
\(\displaystyle{ x ^{2}+y ^{2}=1 , z=x-1 , z=x ^{2}}\)
Więc zamieniłem obszar na współrzędne biegunowe i umiem obliczyć tylko do tego miejsca :
\(\displaystyle{ V=\iint_{D}(6x ^{2}+2y ^{2})dxdy=\iint_{\Delta}(6\rho ^{2}cos ^{2}\varphi+2\rho ^{2}sin ^{2}\varphi) \rho d \rho d\varphi=6\int\limits_{0}^{2\pi}d\varphi\int\limits_{0}^{1}\rho ^{3}cos ^{2}\varphi d\rho+2\int\limits_{0}^{2\pi}d\varphi\int\limits_{0}^{1}\rho ^{3}sin^{2}\varphi d\rho =6(\int\limits_{0}^{2\pi}cos ^{2}\varphid d\varphi) (\int\limits_{0}^{1}\rho^{3}d\rho)+2(\int\limits_{0}^{2\pi}sin^{2}\rho d\rho)(\int\limits_{0}^{1}\rho^{3}d\rho)=2 \cdot 4 \cdot \frac{\pi}{4} \cdot \frac{1}{4}+2 \cdot 4 \cdot \frac{\pi}{4} \cdot \frac{1}{4}=\pi}\)

Mógłby mi ktoś wytłumaczyć to rozwiązanie ? Szczególnie nie rozumiem tej równości:

\(\displaystyle{ 6\int\limits_{0}^{2\pi}d\varphi\int\limits_{0}^{1}\rho ^{3}cos ^{2}\varphi d\rho+2\int\limits_{0}^{2\pi}d\varphi\int\limits_{0}^{1}\rho ^{3}sin^{2}\varphi d\rho =6(\int\limits_{0}^{2\pi}cos ^{2}\varphid d\varphi) (\int\limits_{0}^{1}\rho^{3}d\rho)+2(\int\limits_{0}^{2\pi}sin^{2}\rho d\rho)(\int\limits_{0}^{1}\rho^{3}d\rho}\) Dlaczego tam są iloczyny między całkami ?

[BettyBoo]

Jeśli w całce podwójnej obie zmienne są w przedziałach stałych i funkcję podcałkową da się zapisać w postaci iloczynu dwóch funkcji, z których jedna zależy od jednej zmiennej, a druga od drugiej, to wtedy całka podwójna z tej funkcji to iloczyn całek po każdej zmiennej z osobna.

Natomiast nie rozumiem, dlaczego ta całka tak wygląda - wg mnie płaszczyzna \(\displaystyle{ z=x-1}\) ogranicza powierzchnię od dołu, a walec paraboliczny \(\displaystyle{ z=x^2}\) od góry, przy czym rzut D bryły na XOY jest kołem \(\displaystyle{ x^2+y^2\leq 1}\), więc powinno być chyba

\(\displaystyle{ |V|=\iint_D(x^2-(x-1))dxdy}\)

Pozdrawiam.

[kubapod]

Dlaczego w tym rozwiązaniu wychodzi \(\displaystyle{ \pi}\) ?

\(\displaystyle{ 6(\int\limits_{0}^{2\pi}cos ^{2}\varphid d\varphi) (\int\limits_{0}^{1}\rho^{3}d\rho)+2(\int\limits_{0}^{2\pi}sin^{2}\rho d\rho)(\int\limits_{0}^{1}\rho^{3}d\rho)=2 \cdot 4 \cdot \frac{\pi}{4} \cdot \frac{1}{4}+2 \cdot 4 \cdot \frac{\pi}{4} \cdot \frac{1}{4}=\pi}\)

Bo mi podczas samodzielnego liczenia wychodzi tak :
\(\displaystyle{ 6(\int\limits_{0}^{2\pi}cos ^{2}\varphid d\varphi) (\int\limits_{0}^{1}\rho^{3}d\rho)+2(\int\limits_{0}^{2\pi}sin^{2}\rho d\rho)(\int\limits_{0}^{1}\rho^{3}d\rho)=6 \cdot \frac{1}{4} \cdot \pi +2\cdot \frac{1}{4} \cdot \pi =2\pi}\)

[BettyBoo]

Twoje obliczenia są poprawne.
Pozdrawiam.