pochodna

[student_infy]

jak obliczyc taka oto pochodna prosze o wskazowki
\(\displaystyle{ y=(tg{x})^{sin{x}},\0}\)

[Alex]

Ze wzoru na pochodną logarytmiczną.
\(\displaystyle{ f(x)=tgx^{sinx}}\)

przyjmijmy oznaczenia:
tgx=p(x)
sinx=q(x)

Wtedy mamy:

\(\displaystyle{ f'(x)=f(x)*(q'(x)*lnp(x)+q(x)*\frac{p'(x)}{p(x)})}\)

[Mbach]

najprościej to zlogarytmować obliczyć pochodną równania i bodajże przez y pomnożyć.

\(\displaystyle{ ln(y) = sinx\cdot ln(tgx)}\)
\(\displaystyle{ \frac{y`}{y} = (sinx\cdot ln(tgx))`}\)
\(\displaystyle{ y` = (sinx\cdot ln(tgx))`y=(sinx\cdot ln(tgx))` (sinx\cdot ln(tgx))}\)

[Rav_DuCe]

Można też skorzystać z tego \(\displaystyle{ e^{ln(tgx)}=tgx}\) podnosimy obie strony równania do potęgi sinx
\(\displaystyle{ e^{ln(tgx)sinx}=tgx^{sinx}}\) teraz liczymy pochodną funkcji po lewej stronie
\(\displaystyle{ ( e^{ln(tgx)sinx})^{\prime}=}\)
\(\displaystyle{ =e^{ln(tgx)^{sinx}}(ln(tgx)sinx)^{\prime}}\)
\(\displaystyle{ =tgx^{sinx}(\frac{sinx}{tgxcos^{2}x}+ln(tgx)cosx)=}\)
\(\displaystyle{ tgx^{sinx}(\frac{1}{cosx}+ln(tgx)cosx)=(tgx^{sinx})^{\prime}}\)