granice

[thomas12345]

\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}(x-x^2*(ln(1+(1/x)))}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x\to\0}(\frac{tgx}{x})^(\frac{1}{x^2})}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x\to\0}(\frac{sinx}{x})^(\frac{1}{x^2})}\)

[Gobol]

co do pierwszego przykładu to chyba będzie tak
\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}[x-x^2(ln[1+\frac{1}{x}])]=\lim_{x\to\infty}[x-ln(1+\frac{1}{x})^{x^{2}}]=\lim_{x\to\infty}(x-ln(e)^x)=\lim_{x\to\infty}(x-x)=0}\)

[Arbooz]

co do punktów b i c:
wykorzystać fakt, że \(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1.}\)
W obu powinna wyjść \(\displaystyle{ \infty}\)

[bolo]

\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}(x-x)=0}\)

Kolego, symbol nieoznaczony. Granica ma inną wartość niż 0.

[Cod]

Dlaczego symbol nieoznaczony?

\(\displaystyle{ \forall x (x-x=0)}\),

więc

\(\displaystyle{ \lim_{x \to }(x-x)=\lim_{x \to }(0)=0}\).

[Arbooz]

\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}(x-x)=0}\) to jak najbardziej prawda, nie trzeba bać się tutaj żadnej nieoznaczoności.
Ja bym poddał w wątpliwość raczej przejście \(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}[x-\ln{(1+\frac{1}{x})^{x^2}}] = \lim_{x\to\infty}[x-\ln{e^x}]}\)

Nie jestem pewien, może to i jest dobrze, ale \(\displaystyle{ (1+\frac{1}{x})^x e}\) bowiem \(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x = e}\).
Generalnie nie można stosować przejścia granicznego tylko w części wyrażenia, by potem zastosować je dla całego wyrażenia. Przy zabawie z nieskończonościami trzeba uważać

[bolo]

Tak, tak... od początku wiedziałem, że jest podejrzane to przejście z (x-x). Sprawdźcie w dowolnym programie matematycznym, granica wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\). Też początkowo wychodziło mi 0, nawet miałem \(\displaystyle{ \infty}\), ale ta \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) dała mi do myślenia...