[Teoria liczb] Odległośc między kolejnymi licbzmi pierwszymi

[ojciec_kogut]

Przy okazji GMiL nasunął mi się taki problem. Dla każdego naturalnego k znaleźć takie dwie kolejne liczby pierwsze, że \(\displaystyle{ p_{2}-p_{1}=k}\), gdzie \(\displaystyle{ p_{1}}\) i \(\displaystyle{ p_{2}}\) to kolejne liczby pierwsze. Najlepiej żeby to były najmniejsze z istniejących takich liczb. Problem ten odnosi się do zadania nr 15 z dzisiejszego finału GMiL. Podrzuci ktoś moiże nazwę tego problemu, bo ktoś go już kiedyś pewnie rozwiązał. Pozdrawiam!

[BettyBoo]

W ogólności to niemożliwe - i to nawet bez założenia, że liczby maja być kolejne - dla przykładu wystarczy wziąć k=7.

Zważywszy również na to, jak w zasadzie niewiele liczb pierwszych znamy (GIMPS pracuje tylko nad liczbami pierwszymi Mersenne'a, a powyżej pewnej liczby - fakt, że coraz większej w miarę rozwoju techniki, ale jednak niewielkiej w porównaniu z nieskończonością - komputery nie wyrobią żadną metodą dla znalezienia tablicy liczb pierwszych mniejszych od zadanej liczby), to zadanie jest niewykonalne.

Pozdrawiam.

[ojciec_kogut]

Zadanie na GMiL sprowadzało się po prostu do znalezienia takiej podzielnej przez 10 liczby czterocyfrowej x, że w przedziale x do x+10 nie ma żadnej pierwszej.

[snm]

To troszkę bardziej szczególny przypadek jednak ;]

[XMaS11]

Gdyby ten problem był rozwiązany to rozwiązany by był problem szukania dużych liczb pierwszych.

[kubek1]

Warto zauważyć, że liczba k nie jest ograniczona z góry, ponieważ:

Łatwo też wskazać 100 kolejnych liczb naturalnych, z których żadna nie jest pierwsza, np. liczby:
\(\displaystyle{ 101!+k}\), gdzie: \(\displaystyle{ k=2,3,...,101}\)

Dalej w tej samej książce czytamy:

Nie wiemy, czy dla każdej liczby parzystej istnieje choćby jedna para liczb pierwszych, których różnicą byłaby ta liczba.
Nie wiemy też, czy istnieje liczba parzysta, która daje się przedstawić na nieskończenie wiele sposobów jako różnica dwu liczb pierwszych.

Problem ten, jak widać, może jeszcze nie mieć swojego rozwiązania.