Nieścisłość w matematyce??-pytanie

[timemaster]

Witam, mam pewne nie porozumienie ,a dokładnie pewną nie ścisłość tzn: wyznacznie granicy tego samego ciągu 2 różnymi sposobami mi wyszły 2 różne granice.
A mianowicie

I Sposób

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty} \sqrt{n ^{2}+n }-n}\)=\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty} \sqrt{n ^{2}(1+ \frac{1}{n}})-n}\)=\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty} \sqrt{n ^{2}} \cdot \sqrt{ 1+\frac{1}{n}}-n}\)=\(\displaystyle{ n \cdot 1-n=0}\)

II Sposób

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty} \sqrt{n ^{2}+n }-n}\)= \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty} \frac{(\sqrt{n ^{2}+n }-n) \cdot( \sqrt{n ^{2}+n }+n)}{\sqrt{n ^{2}+n }+n}}\)=\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty} \frac{n ^{2}+n-n ^{2}}{ \sqrt{n ^{2}(1+ \frac{1}{n} ) } +n}}\)=\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty} \frac{n}{2n}= \frac{1}{2}}\)

Niby dobrze wszystko zrobione a dwie różne granice... matymatyka nie lubi nie ścisłości więc jak kto wie czemu takie są 2 wyniki prosze o wytłumaczenie.
Z góry dziękuje.

[BettyBoo]

W sposobie I ta jedynka w przedostatnim wyrażeniu jest granicą, a nie liczbą, zatem masz tam granicę postaci \(\displaystyle{ \infty-\infty}\) (to nie jest liczba 0); jeśli wyłączysz n, to wychodzi Ci granica postaci \(\displaystyle{ 0\cdot \infty}\), a to nadal symbol nieoznaczony.

Trzeba uważać na wykorzystywanie granic w pośrednich obliczeniach - najlepiej doprowadzić wyrażenie do takiej postaci, z której granicę można obliczyć.

Drugie rozwiązanie jest poprawne.

Pozdrawiam.