h1 + h2 + h3 = 9r ok. wpis. => trójkąt jest równoboc

[czubakabra]

Witam,
Mam takie zadanko:

Wykaż że jeżeli suma długości wszystkich wysokości trojkąta jest 9 razy większa od długości promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt to trójkąt ten jest równoboczny

Prosiłbym o pomoc

Pozdrawiam

[Tomasz Rużycki]

Niech:

\(\displaystyle{ s}\) - pole trójkąta,
\(\displaystyle{ r}\) - promień okręgu wpisanego,
\(\displaystyle{ a,b,c}\) - boki trójkąta,
\(\displaystyle{ h_a,h_b,h_c}\) - wysokości opuszczone odpowiednio na boki \(\displaystyle{ a,b,c}\),
\(\displaystyle{ p}\) - połowa obwodu trójkąta.


Oczywiście \(\displaystyle{ s=\frac{ah_a}{2}=\frac{bh_b}{2}=\frac{ch_c}{2}}\), czyli

\(\displaystyle{ h_a = \frac{2s}{a}}\),
\(\displaystyle{ h_b=\frac{2s}{b}}\),
\(\displaystyle{ h_c=\frac{2s}{c}}\).

Z drugiej strony \(\displaystyle{ s=pr}\), czyli \(\displaystyle{ r=\frac{s}{p} = \frac{2s}{a+b+c}}\).

Mamy:

\(\displaystyle{ h_a+h_b+h_c=\frac{2s}{a} + \frac{2s}{b} + \frac{2s}{c} = 9r = \frac{18s}{a+b+c}}\), czyli

\(\displaystyle{ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{9}{a+b+c}}\).

Oczywiście \(\displaystyle{ \frac{1}{a}+\frac{1}{b} +\frac{1}{c}\geq \frac{9}{a+b+c}}\) (na mocy nierówności między średnią arytmetyczną i harmoniczną).

Wiemy, że równość zachodzi w niej dokładnie wtedy, gdy składniki są równe, więc u nas \(\displaystyle{ \frac{1}{a}=\frac{1}{b}=\frac{1}{c}}\), czyli \(\displaystyle{ a=b=c}\), co kończy dowód.


Pozdrawiam,
--
Tomasz Rużycki

[czubakabra]

Serdecznie dziękuję za pomoc. Ciekawe rozwiązanie