obliczyć sumę szeregu

[matekleliczek]

(1)\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n+2}{n^2\cdot(n+1)}}\)
(2)\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\ln \frac{n\cdot(n+2)}{n+1}}\)

[BettyBoo]

1) najpierw robimy rozkład na ułamki proste otrzymując \(\displaystyle{ \frac{k+2}{k^2\cdot(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}+\frac{2}{k^2}}\)
Sumę liczymy z definicji, jako granicę ciągu sum częściowych

\(\displaystyle{ S_n=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}+\frac{2}{k^2}=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}-\sum_{i=2}^{n+1}\frac{1}{k}+2\sum_{i=1}^n\frac{1}{k^2}=1-\frac{1}{n+1}+2\sum_{i=1}^n\frac{1}{k^2}}\)

Wtedy z definicji

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n+2}{n^2\cdot(n+1)}=\lim_{n\to\infty} S_n=1+2\frac{\pi^2}{6}}\)
przy czym ten drugi składnik wziął się ze znanej sumy szeregu harmonicznego rzędu 2.

2) jest rozbieżny bo nie spełnia WK - pewnie ma być kwadrat w mianowniku? Wtedy też z definicji, jak w 1, przy wykorzystaniu własności logarytmów.

[Dasio11]

1) najpierw robimy rozkład na ułamki proste otrzymując \(\displaystyle{ \frac{k+2}{k^2\cdot(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}+\frac{2}{k^2}}\)

Rany, strasznie odkopuję temat, ale przecież

\(\displaystyle{ \frac{k+2}{k^2\cdot(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}+\frac{2}{k^2(k+1)} \neq \frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}+\frac{2}{k^2}}\)

A wtedy

\(\displaystyle{ S_n=1-\frac{1}{n+1}+2 \sum \limits_{i=1}^{n} \frac{1}{k^3+k^2}}\) , a to trochę zmienia wynik zadania. Niech ktoś jeszcze sprawdzi najlepiej.

[Wasilewski]

Trochę zmienia, ale w żaden sposób nie komplikuje obliczeń, ponieważ
\(\displaystyle{ \frac{k+2}{k^2(k+1)} = \frac{2(k+1) - k}{k^2(k+1)} = \frac{2}{k^2} - \left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}\right).}\)