Długość łuku,całka oznaczona, niby prosta, ale...sprawdzenie

[chris_stargard]

Zadanie brzmi następująco:
Oblicz długość łuku krzywej o równaniu
\(\displaystyle{ y=arcsine ^{-x}}\) w przedziale \(\displaystyle{ x \in [0,3]}\)

Obliczyłem pochodną, podniosłem ją do kwadratu, wstawiłem do wzoru na długość łuku, zredukowałem i otrzymałem
\(\displaystyle{ K= \int_{0}^{3} \sqrt{ \frac{1}{1-e ^{-2x} } } dx}\)

Próbowałem wymnożyć licznik i mianownik przez \(\displaystyle{ e ^{2x}}\), ale za wiele mi to nie dało. Następnie podstawiłem \(\displaystyle{ e ^{x} =t}\) i wyszło mi \(\displaystyle{ \int_{1}^{e ^{3} } \frac{1}{ \sqrt{t ^{2} -1} }dt}\)

Skorzystałem ze wzoru
\(\displaystyle{ \int_{}^{}\frac{1}{ \sqrt{x^{2} -a ^{2} } }dx=ln(|x|+ \sqrt{x ^{2} -a ^{2} })}\)

Aczkolwiek mam wątpliwości, bo ten wzór jeśli się nie mylę, "działa" dla wartości bezwzględnej x większej od wartości bezwzględnej a, a jedna z granic =a.

[BettyBoo]

Ta całka jest niewłaściwa (widać, że oryginalna funkcja jest nieokreślona dla x=0). Wypadałoby zamienić ją na granicę.

Pozdrawiam.