Z trójmianu kwadratowego do postaci kanonicznej

[ClausNicolas]

W podręczniku od matematyki znalazłem następujący zapis:

\(\displaystyle{ a x^{2} + bx + c = a(x-p)^{2} + q}\)

\(\displaystyle{ bx + c = ap^{2} + q - 2apx}\)

"Porównując odpowiednie współczynniki otrzymujemy:

\(\displaystyle{ \begin{cases} -2ap = b \\ ap^{2} + q = c \end{cases}}\)

Moje pytanie brzmi następująco: Jaką podstawę ma założenie, że \(\displaystyle{ b = -2ap}\) oraz \(\displaystyle{ ap^{2} + q = c}\)?
Określenie "porównując odpowiednie współczynniki" niewiele mi mówi - podejrzewam tylko, iż chodzi o to, że to jedyna sytuacja, w której proporcje współczynników są niezależne od wartości X.

W związku z powyższym, proszę o potwierdzenie mej tezy, lub jej skorygowanie.
Z góry dziękuję.

[Ateos]

chodzi im oto: \(\displaystyle{ a x^{2} + bx + c = a(x-p)^{2} + q=a(x^2-2px+p^2)+q=ax^2-2pax+p^2a+q}\)
tak lepiej widac:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a x^{2} + bx + c \\ ax^2-2pax+p^2a+q \end{cases}}\)

[ClausNicolas]

Wiem - umyślnie nie zapisywałem całości - szkoda czasu. Pytanie dotyczy czego innego.
Na jakiej podstawie założyli mając do dyspozycji napisany przez Ciebie układ równań, iż \(\displaystyle{ b = -2ap}\) oraz \(\displaystyle{ c = ap^{2} + q}\)?

[Ateos]

"2 wielomiany sa rowne, gdy sa tego samego stopnia i kiedy jego odpowiednie wspolczynniki sa rowne"

[ClausNicolas]

Nie jestem pewien, czy dobrze zrozumiałem...mógłbyś to wyjaśnić na tym przykładzie?

[Ateos]

stopnia sa tego samego- drugiego stopnia(f. kwadratowa), a oczywiscie sa one rowne, wiec odpowiednie wspolczynniki przy potegach ixa sa rowne, wiec otrzymujemy to co pisales skad to.

Przyklad:
2x+2=kx+m <= funkcje sa rowne(z zalozenia). wiec 2=k i m=2

[ClausNicolas]

"2 wielomiany sa rowne, gdy sa tego samego stopnia i kiedy jego odpowiednie wspolczynniki sa rowne"

Ciekawa kwestia ... lecz z czego ona wynika? ( jak to udowodniono )

[Dasio11]

Ponieważ tylko w przypadku takiego zastąpienia funkcje będą równe. Jeśli podstawisz cokolwiek innego nietożsamego z takim przekształceniem to dla paru przypadków wynik może się zgadzać, ale nie wszystkie. A funkcje są równe tylko wtedy, gdy dla każdego x przyjmują jednakowe wartości.

[ClausNicolas]

Ponieważ tylko w przypadku takiego zastąpienia funkcje będą równe. Jeśli podstawisz cokolwiek innego nietożsamego z takim przekształceniem to dla paru przypadków wynik może się zgadzać, ale nie wszystkie. A funkcje są równe tylko wtedy, gdy dla każdego x przyjmują jednakowe wartości.

Nie zaprzeczam - w innej formie powiedziałem to w pierwszym poście, mówiąc o niezależności współczynników od X.

Pytając o dowody, mówiłem o samym twierdzeniu dotyczącym współczynników w wielomianach, abstrahując od tego, konkretnego przypadku. Czyli...jak udowodniono stricte matematycznie to, co jest zamieszczone w powyższym cytacie?

[kubek1]

Ciekawa kwestia ... lecz z czego ona wynika? ( jak to udowodniono )

Można to udowodnić indukcyjnie ze względu na stopień wielomianu.

A funkcje są równe tylko wtedy, gdy dla każdego x przyjmują jednakowe wartości.

W wielomianie wystarczy dla n+1 różnych x, gdzie n jest stopniem wielomianu.

[Ateos]

wkurzyles mnie:P

Równości wielomianów:P
\(\displaystyle{ 1^{o}W(x)=Q(x) \Leftrightarrow \forall_{m \in R} W(m)=Q(m)}\)
\(\displaystyle{ 2^{o}}\) Współczynniki i stopnie wielomianów równych są odpowiednio równe.
Basta

[ClausNicolas]

Równości wielomianów:P
1^{o}W(x)=Q(x) Leftrightarrow forall_{m in R} W(m)=Q(m)
2^{o} Współczynniki i stopnie wielomianów równych są odpowiednio równe.
Basta

Bez wątpienia . Tylko że pytanie przestało zaczynać się od "Co" a zaczęło od "Dlaczego?" - jak twórca twierdzenia o współczynnikach w wielomianach udowodnił swą tezę?

[miki999]

Hmm, udowodnić tezę?

Nie sądzę aby to wymagało w przypadku zwykłych wielomianów dowodzenia. Jeżeli już chcesz koniecznie, to możesz sobie samemu udowodnić:
\(\displaystyle{ W(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{2}x+a_{1} \\ Q(x)=b_{n}x^{n}+b_{n-1}x^{n-1}+...+b_{2}x^{2}+b_{1}}\)
Sprawdź kiedy dla każdego \(\displaystyle{ x}\) zachodzi:
\(\displaystyle{ W(x)-Q(x)=0}\)