Nierównia

[Mścisława]

Ze szczytu wklęsłego toru, w kształcie ćwiartki okręgu o promieniu R = 5m,
zaczyna się staczać , bez poślizgu kula o promieniu r = 10cm, i masie m = 25kg

1. Jaka jest prędkość kuli: a) w połowie, b) na koncu toru.

2. Tor przedłużono podobnym łukiem, ale o promieniu R/2 - na jaką wysokość wyskoczy kula, po przebyciu obu torów?

2. Obliczyć czasy pokonania pierwszego i drugiego toru.

Bardzo proszę o pomoc, bo mnie już...

[vaynard]

a)mozna wyjsc z zasady zachowania energii:
Na szczycie kula ma energie (liczac do srodka ciezkosci):
E1=mg(R+r)
W polowie rowni mozna geometrycznie wyznaczyc ze srodek kuli znajdyje sie w odleglosci
R-r od srodka okregu tworzacego "rownie", zatem odleglosc srodka ciezkosci od szczytowego punktu rowni wynosi l=(R-r)cos(45 ° ) wiec wysokosc tego punktu nad podlozem to h=R-l=R+(r-R)cos45
Wynika z tego ze w srodku rowni kula ma energie potencjalna E2pot=mgh
Roznica E1-E2pot=E2k przeszla na kinetyke ciala:
E2k=0.5mV*V+0.5*I0*w*w
Pierwszy skladnik to energia kinetyczna ciala
a drugi to jego energia obrotowa. I0 oznacza moment bezwladnosci, dla kuli
I0=m*r*r*2/5 , w to predkosc katowa.Poniewaz cialo porusza sie bez poslizgu, predkosc katowa w i lniowa V punktu na zewnetrznej czesci kuli sa zwiazane V=w*r. wstawialac to do E2k,potem sumujac E2k z E2poti porownujac sume z E1 mozesz policzyc V2
Posepujac analogicznie mozesz policzyc V3 na dole toru tym razem wiedzac ze E3pot=mgr.
b)tez z zasady zachowania Calkowita energia ukladu sie nie zmienia i nadole kula tez bedzie miala enrgie E3=mg(R+r). policz jak w poprzednim punkcie Energie kinetyczna na wylocie z drugiego okregu- tylko ona "przeksztalci sie" w energie potencjalna, gdyz z
powodu braku tarcia kula caly czas bedzie sie obracac i jej energia obrotowa pozostanie stala.
c)hmm...do czasow to juz chyba trzeba podejsc z calkami, tzn (np dla 1 toru)
uzaleznic predkosc od aktualnej wysokosci w kazdej chwili bedzie spelnione rownanie
dt=dx/V i zcalkowac w przediale x=[R+r,0] tak samo dla toru 2

[Cyburg]

Nie jestem pewien, ale czy przypadkiem nie brakuje EP poczatkowej ?
Ponizszy przyklad dot. polowy drogi.


\(\displaystyle{ Ep_{konc} - Ep_{pocz} = EK_{konc}}\)
\(\displaystyle{ mg(R-I) - mgR = \frac{mv^2}{2} + \frac{J\omega^2}{2}}\)

\(\displaystyle{ mg(R-I) - mgR = \frac{mv^2}{2} + \frac{0,4mr^2\omega^2}{2}}\)
\(\displaystyle{ 2g(R-I) - 2gR = v^2+ 0,4r^2\omega^2}\)
\(\displaystyle{ 2g(R-I) - 2gR = v^2+ 0,4v^2}\)
\(\displaystyle{ 2g(R-I) - 2gR = 1,4v^2}\)
\(\displaystyle{ v^2 = \frac{10g(R-I)}{7} - \frac{10gR}{7}}\)
\(\displaystyle{ v = \sqrt[2]{\frac{10g(R-I) - 10gR}{7}}}\)
\(\displaystyle{ v = \sqrt[2]{\frac{10g[(R-I) - R]}{7}}}\)



Jesli zle mysle, to prosilbym o bardziej szczegolowe wytlumaczenie, poniewaz z takim rpzykladem pierwszy raz sie spotykam

[vaynard]

Twoje pierwsze rownanie jest bledne - piszac taka rownosc trzeba miec na mysli porownanie stanu energetycznego przed i po zdarzeniu- to o nich wiemy ze energie w tych stanach sa rowne, nie mozesz pisac Eppocz+Epkon=Ekkon, dlaczego tak? Z rownosci calkowitych energii wynika Eppocz+Ekpocz=Epkon+Ekkon a poniewaz Ekpocz=0 to
Eppocz=Epkon+Ekkon U mnie ( w poscie wyzej ) Eppocz=E1, EKkonc=E2k, Epkonc=E2pot

[Cyburg]

Chcialbym conieco sprostowac moje rozumowanie. Pierwsze primo co innego myslalem, co innego zapisalem, w tej chwili wzor przedstawia moj prawidlowy tok rozumowania. Drugie primo z poczatku myslalem, ze w Twoim wzorze zabraklo Energii potencjalnej w st. poczatkowym, jednak zwiazane to bylo z moim przeoczeniem, dlatego w tej chwili prawdopodobnie wzor wyglada tak samo jak u Ciebie. (dopiero drugi post mi to uswiadomil)

[vaynard]

No tak jezeli wysokosc kuli w obu sytuacjach jest dobrze policzona ( w koncu to nierownia), to wszystko powinno byc ok.

[Fibik]

Dlaczego zaczynasz toczenie z wysokości R+r, zamiast R?
Wtedy, na początkowym odcinku od R+r do R, nie ma się po czym toczyć, i kula spada pionowo.

[vaynard]

toczenie rozpoczalem z wys R+r bo chcialem obserwowac ruch srodka ciezkosci kuli (to moje upodobanie chociaz mozna oczywiscie zaczac od wysokosci podstawy kuli