Funkcja 2 zmiennych - granica

[zuababa]

Znajdź granicę :

\(\displaystyle{ \lim_{ (x,y)\to (0,0)} \frac{x ^{2} y}{x ^{2} +y ^{3} }}\)

No i jak podstawiam biegunowe to mi wychodzi
\(\displaystyle{ \frac{r(cos ^{2} \alpha sin \alpha )}{cos ^{2} \alpha +rsin ^{3} \alpha }}\)
czyli 0 jeśli cosinus alfa nie dąży do 0 a jak sprawdzić czy na pewno tam ona istnieje?

[Gotta]

granica nie istnieje.
Weźmy ciągi \(\displaystyle{ \left( \frac{1}{n}, 0\right) \rightarrow (0,0)}\) gdy \(\displaystyle{ n\to \infty}\) i \(\displaystyle{ \left( \frac{1}{n}, -\frac{ \sqrt[3]{n+1} }{n}\right) \rightarrow (0,0)}\) gdy \(\displaystyle{ n\to \infty}\). Wtedy

\(\displaystyle{ f \left(\frac{1}{n}, 0 \right) =0 \rightarrow 0}\)

\(\displaystyle{ f\left( \frac{1}{n}, -\frac{ \sqrt[3]{n+1} }{n}\right) = \frac{\frac{1}{n^2}\cdot -\frac{ \sqrt[3]{n+1} }{n}}{\frac{1}{n^2}-\frac{n+1}{n^3}}=\frac{-\frac{ \sqrt[3]{n+1} }{n^3}}{\frac{n-n-1}{n^3}}=\frac{- \sqrt[3]{n+1} }{-1}=\sqrt[3]{n+1}\to \infty}\) gdy \(\displaystyle{ n\to \infty}\)

[zuababa]

Dzięki wielkie. Chciałabym jeszcze zapytać, jak wymyślić taki ciąg? (ten drugi) tzn jest na to jakaś reguła, czy metodą prób i błędów?

[bedbet]

Metoda przez przećwiczenie dużej liczby przykładów jest najlepsza.

[miich]

A ja mam pytanie o podobny przykład. Sprawdziłem kilka ciągów i zdaje się, że funkcja ma granicę. Jak można ją znaleźć?

\(\displaystyle{ \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^{3}y}{x^{4}+y^{2}}}\)

[bedbet]

To, że kilka ciągów spełnia warunek granicy, to nie znaczy, że granica istnieje. Są takie ciekawe przykłady, że dla nieskończenie wielu ciągów z danej rodziny, dana granica istnieje oraz dla nieskończenie wielu ciągów innej rodziny ta sama granica już nie istnieje. Tak więc z tymi tezami wysuniętymi na podstawie kilku ciągów zalecałbym daleko idącą ostrożność. A w tego typu przykładach pomocne jest porównywanie niejako "stopnia licznika" ze "stopniem mianownika" (podobnie jak w przypadku funkcji jednej zmiennej) , by mieć pogląd czy grania będzie istnieć, czy też nie i ewentualnie dobierać wtedy metodę rozwiązania.

[Gotta]

\(\displaystyle{ \lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{x^3y}{x^4+y^2}}\)

\(\displaystyle{ 0 \le \left| \frac{x^3y}{x^4+y^2} \right| \le \left|\frac{x^3y}{2x^2y} \right| = \left|\frac{x}{2} \right| \rightarrow 0}\)

czyli

\(\displaystyle{ \lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{x^3y}{x^4+y^2}=0}\)

[bedbet]

Gotta jak Ci z plusa wyszło mnożenie nagle?

[natalia90stg]

też mam pytanie o to samo do Gotta, albo dla innej dobrej duszyczki która poświęci chwile żeby odpisac . Rozumiem, że skorzystałaś z tw. o 3ciągach? Ale dlaczego tak zamieniłaś? Skąd wiedzieć że tak trzeba zamienić ?
Pozdrawiam

[frej]

\(\displaystyle{ a^2+b^2\ge 2ab}\)