Oblicz pole powierzchni bryły

[chris_stargard]

Oblicz pole powierzchni bryły obrotowej powstałej przez obrót wokół osi OX krzywej.
\(\displaystyle{ y=cosx,x \in [0,\pi]}\)

Mam problem z policzeniem całki we wzorze na pole powierzchni, nie mogę trafić na dobre podstawienie

[szczepanik89]

\(\displaystyle{ \int_{O}^{pi}\int_{0}^{cosx}dydx = |P|}\) ja bym tak to zrobil

[Andreas]

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \cos(x) \cdot \cos(x)dx}\)
Przez części,
\(\displaystyle{ f'=1, g=\cos^2(x)}\)
albo
\(\displaystyle{ f'=\cos(x), g=\cos(x)}\)

[chris_stargard]

hmmm a mógłbym prosić dokładniej?;) bo stanąłem w miejscu na:

\(\displaystyle{ S=2\pi \int_{0}^{\pi} cosx \sqrt{1+sin ^{2}(x) }dx}\)

Próbowałem zrobić podstawienie podstawy pierwiastka, zamienić kwadratowy sinus na cosinus podwojonego kąta, wszystko wciągnąć pod nawias... i nic

Zaraz jeszcze spróbuję całkowania przez części, które mi wpadło do głowy

[Andreas]

Sorry mój błąd. Myślałem że pod pierwiastkiem wyjdzie cos(x) z jedynki trygonometrycznej, ale jednak nie bo -sin jest do kwadratu...

[chris_stargard]

Niestety, jedynki ani widu ani słychu
teraz próbuję wykombinować coś z wzoru
\(\displaystyle{ \int_{}^{} x \sqrt{(a ^{2} - b ^{2}) } dx=- \frac{1}{3} \sqrt{(a ^{2} - b ^{2}) ^{3} }}\)

[M Ciesielski]

po podstawieniu t = sinx otrzymujesz \(\displaystyle{ \int \sqrt{1+t^2} dt}\) a tutaj można podstawic
\(\displaystyle{ t = sinhu \\ dt = coshu}\)

Otrzymasz \(\displaystyle{ \int \sqrt{1+sinh^2u}coshudu = \int cosh^2u du}\) a to przez części.

\(\displaystyle{ \int x \sqrt{(a ^{2} - b ^{2}) } dx=- \frac{1}{3} \sqrt{(a ^{2} - b ^{2}) ^{3} }}\)

tak apropo: \(\displaystyle{ \int x \sqrt{(a ^{2} - b ^{2}) } dx = \frac{x^2 \sqrt{(a ^{2} - b ^{2}) }}{2} + C}\)

[Mariusz M]

\(\displaystyle{ \int{\cos{x} \sqrt{1+\sin^{2}{x}} }}\)

Po podstawieniu \(\displaystyle{ \sin{x}=\tan{t}}\)

otrzymamy całkę

\(\displaystyle{ \int{ \frac{dt}{cos^{3}{t}} }}\)

Powyższą całkę można policzyć w ten sposób

Przedstawiamy licznik w postaci jedynki trygonometrycznej

Całka \(\displaystyle{ \int{ \frac{1}{\cos{t}} }= \int{ \frac{ \left( \sin{t}\right)' }{1-\sin^{2}{t}} }}\)

a to jest równe \(\displaystyle{ \ar\tanh \left(\sin{t} \right)}\)

Całka \(\displaystyle{ \int{ \frac{\sin^{2}{t}}{\cos^{3}{t}} }}\)

może być obliczona przez części

\(\displaystyle{ \int{ \frac{\sin^{2}{t}}{\cos^{3}{t}} } = \frac{1}{2} \int{\sin{t} \frac{2\sin{t}}{\cos^{3}{t}} }}\)

Ostatecznie powinniśmy dostać

\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \left(\sin{x} \sqrt{1+\sin^{2}{x}} +\ar\tanh \left( \frac{\sin{x}}{ \sqrt{1+\sin^{2}{x}} } \right) \right)}\)

Ponieważ głównym celem jest obliczenie całki oznaczonej powrót do zmiennej x nie był konieczny

\(\displaystyle{ = \frac{1}{2} \left( \frac{\sin{t}}{cos^{2}{t}} +\ar\tanh \left( \sin{t}\right) \right)}\)

\(\displaystyle{ t=\arctan \left( \sin{x}\right)}\)

\(\displaystyle{ t_{0}=\arctan{\sin{0}}=0}\)

\(\displaystyle{ t_{1}=\arctan{\sin{\pi}}=0}\)

Wobec powyższego trzeba podzielić przedział całkowania

[meninio]

Tą całkę \(\displaystyle{ \int \frac{ \mbox{d}t}{\cos^3t}}\) można trochę bardziej po ludzku zrobić:

\(\displaystyle{ \int \frac{ \mbox{d}t}{\cos^3t}=\int \frac{ \cos t\mbox{d}t}{\cos^4t}=\int \frac{ \cos t\mbox{d}t}{(1-\sin^2 t)^2} = \left[\begin{array}{cc}z=\sin t\\ \mbox{d}z=\cos t \mbox{d}t\end{array}\right] = \int \frac{ \mbox{d}z}{(1-z^2)^2}= \\ \\ \\= \int \frac{ \mbox{d}z}{(z-1)^2(z+1)^2} = \int \left(\frac{A}{z-1}+\frac{B}{(z-1)^2}+\frac{C}{z+1}+\frac{D}{(z+1)^2} \right) \mbox{d}z= \\ \\ \\= A\ln|z-1|+C\ln |z+1|-\frac{B}{z-1}-\frac{D}{z+1} = \\ \\ \\ =A\ln|\sin t-1|+C\ln |\sin t+1|-\frac{B}{\sin t-1}-\frac{D}{\sin t+1}}\)

Trzeba jeszcze znaleźć wartośći współczynników A,B,C,D z rozkładu na ułamki proste.

I jeszcze wrócić do podstawienia: \(\displaystyle{ \sin x = \tan t \Rightarrow \sint =\frac{\sin x}{\sqrt{1+\sin^2x}}}\)

[Mariusz M]

M Ciesielski, pisałeś mi że lubisz podstawienia Eulera

Tutaj też można je zastosować

\(\displaystyle{ \sqrt{1+\sin^{2}{x}}=t-\sin{x}}\)

i po co funkcje hiperboliczne pchać , nie każdy je musi znać
więc lepiej zastosować podstawienia Eulera